2008-湖北卷文-20 解-双曲线方程与面积定斜率

本题导读

$a^2+b^2=4$ 与 $\frac{9}{a^2}-\frac{7}{b^2}=1$ 解得 $a^2=b^2=2$；$|x_1-x_2|=2\sqrt{2}$ 化为 $k^4-k^2-2=0$，$k=\pm \sqrt{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的两个焦点为 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$，点 $P(3,\sqrt{7})$ 在双曲线 $C$ 上.

(1)求双曲线 $C$ 的方程；

(2)记 $O$ 为坐标原点，过点 $Q(0,2)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于不同的两点 $E$，$F$，若 $△OEF$ 的面积为 $2\sqrt{2}$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

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第一问换元 $t=a^2$ 解二次方程并按 $0<t<4$ 舍根；第二问用叉乘面积公式$S=\frac{|x_1{y}_2-x_2{y}_1|}{2}$ 把面积条件转化为 $|x_1-x_2|$，再借助判别式整体写出 $(x_1-x_2{)}^2$.

✅【答案】

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(1)$x^2-y^2=2$；(2)$y=\sqrt{2}x+2$ 或 $y=-\sqrt{2}x+2$

✍【详细解析】

Abstract

【裁定】原卷双曲线方程误印为"$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1$"（丢等号），按答案节"$=1$"录入. (1)由焦点坐标知半焦距 $c=2$，所以 $a^2+b^2=c^2=4$. 又点 $P(3,\sqrt{7})$ 在双曲线 $C$ 上，得 $\frac{9}{a^2}-\frac{7}{b^2}=1$. 令 $t=a^2$，则 $b^2=4-t$，其中 $0<t<4$. 代入上式并整理，得 $\frac{9}{t}-\frac{7}{4-t}=1⟹t^2-20t+36=0⟹(t-2)(t-18)=0$. 由 $0<t<4$，只能取 $t=2$. 因此 $a^2=b^2=2$，双曲线方程为 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$，即 $x^2-y^2=2$. (2)直线 $l$ 不可能是 $x=0$：与双曲线方程联立得 $-y^2=2$，无实交点. 故设 $l$ 的方程为 $y=kx+2$. 当 $k=\pm 1$ 时，代入双曲线方程所得为一次方程，$l$ 与双曲线只有一个交点，不符合题设，故 $k\ne \pm 1$. 将其代入双曲线方程，得 $x^2-(kx+2{)}^2=2$，即 $(1-k^2)x^2-4kx-6=0$. 设两交点 $E$、$F$ 的横坐标分别为 $x_1$、$x_2$，对应纵坐标 $y_i=k{x}_i+2$. 由三角形面积公式， $2S_{△OEF}=|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=|2(x_1-x_2)|$，故 $S_{△OEF}=2\sqrt{2}$ 等价于 $|x_1-x_2|=2\sqrt{2}$. 二次方程的根的判别式 $\Delta =(-4k{)}^2-4(1-k^2)(-6)=8(3-k^2)$，且 $(x_1-x_2{)}^2=\frac{\Delta }{(1-k^2{)}^2}$. 由 $|x_1-x_2|=2\sqrt{2}$ 得 $\frac{8(3-k^2)}{(1-k^2{)}^2}=8⟹k^4-k^2-2=0⟹(k^2-2)(k^2+1)=0$. 所以 $k^2=2$，$k=\pm \sqrt{2}$，所求直线方程为 $y=\sqrt{2}x+2$ 或 $y=-\sqrt{2}x+2$. （此时 $\Delta =8(3-2)=8>0$，两交点确实存在.）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线标准方程与直线相交

核心方法：$c^2=a^2+b^2$ 加点在曲线上联立解 $a^2,b^2$；面积用 $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ 化简

避坑指南：$t=18$ 超 $b^2=4-t$ 的范围要舍；$k=\pm 1$ 使二次项消失要单独排除；求出 $k$ 后用 $\Delta >0$ 复核交点存在

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线解答题的常规结构：方程 + 直线相交 + 面积条件

结论推广：面积可用 $S=\frac{|x_1{y}_2-x_2{y}_1|}{2}$ 避开高的讨论；$(x_1-x_2{)}^2=\frac{\Delta }{a^2}$ 整体处理

方法推广：设直线前先排除斜率不存在的情形；二次项系数为零（相切或一个交点）单独讨论；最后用 $\Delta >0$ 验根

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-05 单-双曲线准线
• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2011-湖北卷文-21 解-轨迹方程与焦点三角形
• 2009-湖北卷理-20