2018-全国卷III文-13 填-向量线性运算

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及平面向量共线的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）已知向量 $\mathbf{a}=(1,2),\mathbf{b}=(2,-2),\mathbf{c}=(1,\lambda )$. 若 $\mathbf{c}\parallel (2\mathbf{a}+\mathbf{b})$, 则 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 先计算向量 $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的坐标。
2. 根据两个向量共线的坐标充要条件（交叉相乘差为零或对应坐标成比例）列方程求解 $\lambda$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$（或 $0.5$）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(1,2)$，所以 $2\mathbf{a}=(2,4)$。 又因为 $\mathbf{b}=(2,-2)$， 所以 $2\mathbf{a}+\mathbf{b}=(2+2,4+(-2))=(4,2)$。 因为 $\mathbf{c}=(1,\lambda )$ 且 $\mathbf{c}\parallel (2\mathbf{a}+\mathbf{b})$， 由共线条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 得： $1\times 2-\lambda \times 4=0⟹2-4\lambda =0⟹\lambda =\frac{1}{2}$ 答案：$\frac{1}{2}$（或 $0.5$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量线性运算、向量共线坐标公式。
2. 核心方法：坐标代入法。
3. 避坑指南：向量共线公式 $\mathbf{a}=(x_1,y_1),\mathbf{b}=(x_2,y_2)$ 时为 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$，切勿将纵横坐标对应比例颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考平面向量基础填空题。
2. 结论推广: 向量共线的坐标判定是解析几何与向量交汇题目的基础工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算