2018-全国卷III文-23 解-绝对值函数

本题导读

本题考查绝对值函数分段化。核心在于分段讨论法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）设函数 $f(x)=|2x+1|+|x-1|$.

(1) 画出 $y=f(x)$ 的图像；

(2) 当 $x\in [0,+\infty )$ 时，$f(x)\le ax+b$，求 $a+b$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：画图

• 找到绝对值的“零点”：$x=-1/2$ 和 $x=1$。

• 将数轴分为 $(-\infty ,-1/2)$，$[-1/2,1)$，$[1,+\infty )$ 三段。

• 去掉绝对值符号，写出每一段的解析式，连接各端点画出折线图。

2. 第二问：最值求解

• 限制条件是 $x\ge 0$。在此区间内，图像由两部分组成：
  • 当 $0\le x<1$ 时，$f(x)=x+2$；
  • 当 $x\ge 1$ 时，$f(x)=3x$。
• $f(x)\le ax+b$ 意味着直线 $y=ax+b$ 必须始终在函数 $f(x)$ 图像的上方（或接触）。
• 截距限制：当 $x=0$ 时，$f(0)=2$，故 $b\ge 2$。
• 斜率限制：由于 $f(x)$ 在 $x\ge 1$ 时的斜率为 3，为了在无穷远处仍能“压住” $f(x)$，直线的斜率 $a$ 必须满足 $a\ge 3$。
• 最小值验证：当 $a=3,b=2$ 时，直线 $y=3x+2$ 是否满足 $x\in [0,+\infty )$ 恒成立？代入验证即可。

✅【答案】

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(1) 图略（三段折线）

(2) $a+b$ 的最小值为 $5$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 根据绝对值定义，将 $f(x)$ 化为分段函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}-(2x+1)-(x-1)=-3x,& x<-\frac{1}{2}\\ (2x+1)-(x-1)=x+2,& -\frac{1}{2}\le x<1\\ (2x+1)+(x-1)=3x,& x\ge 1\end{array}$ 图像是由三条射线/线段组成的折线，顶点为 $(-1/2,1.5)$ 和 $(1,3)$，与 $y$ 轴交于 $(0,2)$。

(2)解： 当 $x\in [0,+\infty )$ 时，$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& 0\le x<1\\ 3x,& x\ge 1\end{array}$。 若 $f(x)\le ax+b$ 恒成立：

1. 令 $x=0$，得 $f(0)\le a(0)+b⟹2\le b$。
2. 当 $x\ge 1$ 时，$3x\le ax+b$。若 $a<3$，则当 $x$ 充分大时，$3x$ 必将超过 $ax+b$，故必有 $a\ge 3$。
3. 当 $a=3,b=2$ 时：

• 若 $0\le x<1$，$3x+2-(x+2)=2x\ge 0$，成立；
• 若 $x\ge 1$，$3x+2-3x=2>0$，成立。 故 $a=3,b=2$ 是使不等式恒成立的一组解。 此时 $a+b$ 的最小值为 $3+2=5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 零点分段法：这是处理绝对值函数的万能钥匙。画图时注意各段的斜率变化，本题斜率从 -3 变到 1 再变到 3。
2. 数形结合的边界思维：在处理 $f(x)\le g(x)$ 时，通常考虑 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的“切线”或“包络线”。在本题中，直线 $y=ax+b$ 既要高过起点 $(0,2)$，又要比最陡的一段（斜率为3）还要陡或一样陡。
3. 区间限制：注意题目要求的是 $x\in [0,+\infty )$，因此不需要考虑 $x<0$ 的图像部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个模型：

• 三角不等式：$||a|-|b||\le |a\pm b|\le |a|+|b|$。
• 最小值位置：对于 $f(x)=\sum |a_{i}x+b_i|$ 型函数，其最小值通常在某个绝对值的零点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-10 单-线性规划面积
• 2021-浙江卷-05 单-线性规划
• 2002-大纲理-20 解-数列递推关系与通项公式