2018-全国卷III理-10 单-几何体体积

本题导读

本题考查三棱锥的体积公式，以及等边三角形的面积与边长关系。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）设 $A,B,C,D$ 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，$△ABC$ 为等边三角形且其面积为 $9\sqrt{3}$，则三棱锥 $D-ABC$ 体积的最大值为()

A. $12\sqrt{3}$　　　　　　B. $18\sqrt{3}$　　　　　　C. $24\sqrt{3}$　　　　　　D. $54\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面分析：

• 已知 $S_{△ABC}=9\sqrt{3}$。设等边三角形边长为 $a$，则 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=9\sqrt{3}⟹a=6$。
• 求底面外接圆半径 $r$：点 $M$ 为 $△ABC$ 的中心，$r=AM=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$。

2. 球心与底面的位置关系：

• 球半径 $R=4$。设球心为 $O$，底面中心为 $M$。
• 在 $Rt△OMA$ 中，$OM=\sqrt{O{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{16-12}=2$。

3. 确定最大高度 $h$：

• 三棱锥 $D-ABC$ 的底面积 $S$ 固定。要使体积 $V=\frac{1}{3}Sh$ 最大，需高 $h$ 最大。
• 顶点 $D$ 在球面上，当 $D,O,M$ 三点共线且 $O$ 位于 $D,M$ 之间时，高 $h=DM=DO+OM=R+OM=4+2=6$。

4. 计算体积：代入公式求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 计算底面相关量： 等边 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=9\sqrt{3}$，解得边长 $a=6$。 $△ABC$ 的外接圆半径 $r=\frac{a}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$。

2. 计算球心到平面的距离： 球半径 $R=4$。设球心到平面 $ABC$ 的距离为 $d$。 由球的性质知：$d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$。

3. 确定最大高度并计算体积： 当三棱锥的高 $h$ 经过球心 $O$ 时，$h$ 取得最大值 $h_{max}=R+d=4+2=6$。 $V_{max}=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}\cdot h_{max}=\frac{1}{3}\times 9\sqrt{3}\times 6=18\sqrt{3}$

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “高”的两种可能：在球体内，给定截面，球面上点到截面的距离有两个极值点，$R+d$（大头）和 $R-d$（小头）。求体积最大值显然取 $R+d$。
2. 关键模型：由“球心 $O$、底面中心 $M$、底面顶点 $A$”构成的直角三角形 $OMA$ 是解决此类问题的几何核心。
3. 计算陷阱：等边三角形的中心到顶点的距离 $r$ 和边长 $a$ 的关系要熟练（$r=\frac{\sqrt{3}}{3}a$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下常用结论：

• 最大体积内接长方体：正方体。
• 最大体积内接三棱锥（底面固定）：等腰三棱锥，且高过球心。
• 计算链条：底面积 $\to$ 截面圆半径 $r$ $\to$ 弦心距 $d=\sqrt{R^2-r^2}$ $\to$ 高 $h=R\pm d$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开