2018-全国卷III理-11 单-双曲线渐近线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）设 $F_1,F_2$ 是双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左、右焦点，$O$ 是坐标原点.过 $F_2$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$.若 $|P{F}_1|=\sqrt{6}|OP|$，则 $C$ 的离心率为()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 挖掘隐藏几何结论：

• 渐近线方程为 $bx\pm ay=0$。右焦点 $F_2(c,0)$ 到渐近线的距离（即垂线段长）$|P{F}_2|=\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$。
• 在 $Rt△OP{F}_2$ 中，由勾股定理得 $|OP|=\sqrt{|O{F}_2{|}^2-|P{F}_2{|}^2}=\sqrt{c^2-b^2}=a$。

2. 建立长度关系：

• 已知 $|P{F}_1|=\sqrt{6}|OP|=\sqrt{6}a$。
• 此时 $△P{F}_1{F}_2$ 的三边长已知或可用 $a,b,c$ 表示：$|P{F}_1|=\sqrt{6}a,|P{F}_2|=b,|F_1{F}_2|=2c$。

3. 利用余弦定理/投影关系：

• 在 $Rt△OP{F}_2$ 中，$\cos \angle P{F}_{2}O=\frac{|P{F}_2|}{|O{F}_2|}=\frac{b}{c}$。
• 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，应用余弦定理：$\cos \angle P{F}_2{F}_1=\frac{|P{F}_2{|}^2+|F_1{F}_2{|}^2-|P{F}_1{|}^2}{2|P{F}_2|\cdot |F_1{F}_2|}$。
• 注意 $\angle P{F}_{2}O$ 与 $\angle P{F}_2{F}_1$ 是同一个角。

4. 化简求离心率：建立关于 $a,c$ 的齐次式，求解 $e=c/a$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 确定关键长度： 设渐近线为 $y=\frac{b}{a}x$，即 $bx-ay=0$。 $F_2(c,0)$ 到渐近线的距离 $|P{F}_2|=\frac{|bc-a\cdot 0|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$。 在 $Rt△OP{F}_2$ 中，$|OP|=\sqrt{O{F}_2^2-P{F}_2^2}=\sqrt{c^2-b^2}=a$。 由题意知 $|P{F}_1|=\sqrt{6}|OP|=\sqrt{6}a$。

2. 利用余弦定理建立方程： 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，$|P{F}_1|=\sqrt{6}a,|P{F}_2|=b,|F_1{F}_2|=2c$。 在 $Rt△OP{F}_2$ 中，$\cos \angle P{F}_{2}O=\frac{|P{F}_2|}{|O{F}_2|}=\frac{b}{c}$。 根据余弦定理： $\cos \angle P{F}_{2}O=\frac{|P{F}_2{|}^2+|F_1{F}_2{|}^2-|P{F}_1{|}^2}{2\cdot |P{F}_2|\cdot |F_1{F}_2|}$ 代入数据得： $\frac{b}{c}=\frac{b^2+(2c{)}^2-(\sqrt{6}a{)}^2}{2\cdot b\cdot 2c}$ $\frac{b}{c}=\frac{b^2+4c^2-6a^2}{4bc}$ $4b^2=b^2+4c^2-6a^2$ $3b^2=4c^2-6a^2$

3. 统一变量求解 $e$： 利用 $b^2=c^2-a^2$ 代入： $3(c^2-a^2)=4c^2-6a^2$ $3c^2-3a^2=4c^2-6a^2$ $c^2=3a^2$ 故离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 双曲线的重要几何结论（建议背诵）：

• 焦点到渐近线的距离恒等于 $b$。
• 原点到垂足的距离恒等于 $a$。
• 焦点、原点、垂足构成的直角三角形与由 $a,b,c$ 构成的特征三角形全等。

2. 模型识别：解析几何中的离心率问题，目标就是通过几何关系（如垂直、长度倍数）建立一个关于 $a,b,c$ 的齐次方程。
3. 计算技巧：在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，因为 $\angle OP{F}_2=90^{\circ }$，也可以直接使用中线定理或坐标法，但余弦定理通常是最稳健的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下路径：

• 定义法：直接求出 $a,c$。
• 齐次方程法：利用几何条件列出包含 $a,b,c$ 的方程，化为 $e$ 的方程。
• 范围法：利用点在曲线上或判别式确定 $e$ 的不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-大纲卷II文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角