2018-北京卷文-15 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于基本量法、指对互化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）设 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_1=\ln 2$，$a_2+a_3=5\ln 2$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求 ${\mathrm{e}}^{a_1}+{\mathrm{e}}^{a_2}+\cdots +{\mathrm{e}}^{a_n}$.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问利用等差数列通项公式将条件转化为关于首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的方程组求解。
2. 第(2)问将 $\{a_n\}$ 代入 ${\mathrm{e}}^{a_n}$ 中，利用指数运算法则转化为等比数列求和。

✅【答案】

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(1) $a_n=n\ln 2$

(2) $2^{n+1}-2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$. 由 $a_1=\ln 2$ 及 $a_2+a_3=5\ln 2$ 可得： $(a_1+d)+(a_1+2d)=5\ln 2⟹2a_1+3d=5\ln 2$. 因为 $a_1=\ln 2$，代入得： $2\ln 2+3d=5\ln 2⟹3d=3\ln 2⟹d=\ln 2$. 故等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=\ln 2+(n-1)\ln 2=n\ln 2=\ln (2^n)$.

(2) 由 $a_n=n\ln 2$ 知 ${\mathrm{e}}^{a_n}={\mathrm{e}}^{n\ln 2}=({\mathrm{e}}^{\ln 2}{)}^n=2^n$. 设 $S_n={\mathrm{e}}^{a_1}+{\mathrm{e}}^{a_2}+\cdots +{\mathrm{e}}^{a_n}$，则： $S_n=2^1+2^2+\cdots +2^n$. 这是一个首项为 2、公比为 2 的等比数列的前 $n$ 项和， 由等比数列求和公式得： $S_n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2(2^n-1)=2^{n+1}-2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项、指数与对数运算、等比数列求和。
2. 核心方法：基本量法与转化化归思想。
3. 避坑指南：注意 ${\mathrm{e}}^{\ln x}=x$ 的性质应用，化简求和项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题常规题型。
2. 结论推广: 若 $a_n$ 为等差数列，则 ${\mathrm{e}}^{a_n}$ 必为等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-浙江卷理-18 解-等差数列通项与性质
• 2013-重庆卷理-12 填-等差数列通项与求和公式