2013-浙江卷理-18 解-等差数列通项与性质

本题导读

本题考查等差数列。核心在于方程组法、分段求和法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 18. 在公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 10$ ，且 $a_{1}, 2 a_{2} + 2, 5 a_{3}$ 成等比数列.

(1)求 $d, a_{n}$ ；

(2)若 $d < 0$ ，求 $∣ a_{1} ∣ + ∣ a_{2} ∣ + ∣ a_{3} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣$ .

🔍【思路分析】

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第一问：利用等比中项性质 $(2 a_{2} + 2)^{2} = a_{1} \cdot 5 a_{3}$ ，将 $a_{2}, a_{3}$ 用 $a_{1}$ 和 $d$ 表示，解关于 $d$ 的一元二次方程。

第二问：由 $d < 0$ 确定数列为递减数列。寻找 $a_{n} \geq 0$ 的临界项 $n$ 。当 $n$ 在临界点内时，直接利用等差数列求和公式；当 $n$ 超过临界点时，将正数项之和减去负数项之和（即分段求和）。

✅【答案】

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综上所述， $∣ a_{1} ∣ + ∣ a_{2} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣ = {- \frac{1}{2} n^{2} + \frac{21}{2} n, \frac{1}{2} n^{2} - \frac{21}{2} n + 110, n \leq 11 n \geq 12$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 因为 $a_{1}, 2 a_{2} + 2, 5 a_{3}$ 成等比数列，所以： $(2 a_{2} + 2)^{2} = a_{1} \cdot 5 a_{3}$

由等差数列通项公式 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ，代入 $a_{1} = 10$ 得： $[2 (10 + d) + 2]^{2} = 10 \cdot 5 (10 + 2 d)$ $(22 + 2 d)^{2} = 50 (10 + 2 d)$ $484 + 88 d + 4 d^{2} = 500 + 100 d$ $4 d^{2} - 12 d - 16 = 0 ⟹ d^{2} - 3 d - 4 = 0$

解得 $d = - 1$ 或 $d = 4$ 。

当 $d = - 1$ 时， $a_{n} = 10 + (n - 1) (- 1) = - n + 11$ ；

当 $d = 4$ 时， $a_{n} = 10 + (n - 1) (4) = 4 n + 6$ 。

（Ⅱ）解： 若 $d < 0$ ，由（Ⅰ）知 $d = - 1, a_{n} = 11 - n$ 。令 $a_{n} \geq 0$ ，得 $11 - n \geq 0 ⟹ n \leq 11$ 。

设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{n} = 10 n + \frac{n ( n - 1 )}{2} (- 1) = - \frac{1}{2} n^{2} + \frac{21}{2} n$ 。

当 $n \leq 11$ 时： $∣ a_{1} ∣ + ∣ a_{2} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣ = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = S_{n} = - \frac{1}{2} n^{2} + \frac{21}{2} n$ 。

当 $n \geq 12$ 时： $∣ a_{1} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣ = (a_{1} + \dots + a_{11}) - (a_{12} + \dots + a_{n})$ $= S_{11} - (S_{n} - S_{11}) = 2 S_{11} - S_{n}$ 因为 $S_{11} = - \frac{1}{2} (11)^{2} + \frac{21}{2} (11) = - \frac{121}{2} + \frac{231}{2} = 55$ ，所以 $∣ a_{1} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣ = 2 \times 55 - (- \frac{1}{2} n^{2} + \frac{21}{2} n) = \frac{1}{2} n^{2} - \frac{21}{2} n + 110$ 。

综上所述， $∣ a_{1} ∣ + ∣ a_{2} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣ = {- \frac{1}{2} n^{2} + \frac{21}{2} n, \frac{1}{2} n^{2} - \frac{21}{2} n + 110, n \leq 11 n \geq 12$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量的计算；等比中项的方程化；绝对值数列的分段求和。

核心方法：“变号点分析法”。处理绝对值数列求和，第一步必须找到通项从正变负（或从负变正）的转折点。

避坑指南：在 $n \geq 12$ 的计算中，容易漏掉绝对值符号导致的符号反转。记住公式 $\sum ∣ a_{i} ∣ = S_{正} - S_{负}$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列前 $n$ 项和的最值问题（通常在变号点附近取得）。

结论推广：对于等差数列，前 $n$ 项绝对值之和 $∣ a_{1} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣$ 总是关于 $n$ 的分段二次函数。

方法推广：数列求和的常用方法还包括错位相减法、并项求和法、倒序相加法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.04 数列求和核心方法与裂项模型

19.01 等差数列全总结

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2026-新高考I卷-07 单-等差数列通项

2013-上海卷文-02 填-等差数列性质

2026-新高考II卷-12 填-等差数列

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2013-浙江卷理-18 解-等差数列通项与性质

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