2018-北京卷理-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及共轭复数的概念。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）在复平面内，复数 $\frac{1}{1-i}$ 的共轭复数对应的点位于()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简复数 $z$：通过分母实数化（分子分母同乘以 $1+i$）将 $\frac{1}{1-i}$ 化为 $a+bi$ 的形式。
2. 求共轭复数 $\bar{z}$：根据定义，若 $z=a+bi$，则其共轭复数 $\bar{z}=a-bi$（实部不变，虚部变号）。
3. 确定象限：在复平面中，复数 $a+bi$ 对应点 $(a,b)$。根据 $a$ 和 $b$ 的正负号判定象限。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 设已知复数为 $z$： $z=\frac{1}{1-i}=\frac{1(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{1-i^2}=\frac{1+i}{1-(-1)}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$

则复数 $z$ 的共轭复数为： $\bar{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

在复平面内，复数 $\bar{z}$ 对应的点的坐标为： $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 该点的横坐标 $x=\frac{1}{2}>0$，纵坐标 $y=-\frac{1}{2}<0$。 根据象限分布：

• 第一象限：$(+,+)$
• 第二象限：$(-,+)$
• 第三象限：$(-,-)$
• 第四象限：$(+,-)$

因此，对应的点位于第四象限。

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 细心陷阱：题目问的是“共轭复数”对应的点，而不是原复数对应的点。很多考生化简完得出 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$ 就直接选第一象限（A），这是最常见的丢分原因。
2. 计算技巧：记住常用的几个分母实数化结论可以提速，例如 $\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$，$\frac{1}{i}=-i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以插入这张简单的符号对照表：

象限	复数 $z=a+bi$ 的特征	坐标特征
第一象限	$a>0,b>0$	$(+,+)$
第二象限	$a<0,b>0$	$(-,+)$
第三象限	$a<0,b<0$	$(-,-)$
第四象限	$a>0,b<0$	$(+,-)$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法