2018-天津卷文-08 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算，以及平面向量基本定理。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）在如图的平面图形中，已知 $OM=1,ON=2,\angle MON=120^{\circ }$，$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{NA}$，则 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OM}$ 的值为 ()

A. $-15$　　　　　　　B. $-9$　　　　　　　C. $-6$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选定基底向量，例如设 $\overrightarrow{OM}={\mathbf{e}}_1$, $\overrightarrow{ON}={\mathbf{e}}_2$，则可求出它们的数量积。
2. 利用分点坐标公式或向量比例关系，将 $\overrightarrow{BC}$ 用基底 $\overrightarrow{OM}$ 和 $\overrightarrow{ON}$ 表示。
3. 计算 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OM}$ 的最终数值。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $\overrightarrow{OM}={\mathbf{e}}_1$, $\overrightarrow{ON}={\mathbf{e}}_2$， 已知 $|{\mathbf{e}}_1|=1$, $|{\mathbf{e}}_2|=2$，夹角为 $120^{\circ }$， 故 ${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=|{\mathbf{e}}_1||{\mathbf{e}}_2|\cos 120^{\circ }=1\times 2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$。 由 $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$，可得 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MA}⟹\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ 或利用分点： 由 $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$, 转化为 $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}=2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})⟹3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}$ 类似关系。 更直接地，在 $△ABC$ 中，由 $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{NA}$， 可知 $M,N$ 分别为 $AB,AC$ 靠近 $A$ 的三等分点（即 $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$, $\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$）。 因此 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$， 即 $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{MN}$。 又由图形知 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}={\mathbf{e}}_2-{\mathbf{e}}_1$， 所以 $\overrightarrow{BC}=3({\mathbf{e}}_2-{\mathbf{e}}_1)$。 计算数量积： $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OM}=3({\mathbf{e}}_2-{\mathbf{e}}_1)\cdot {\mathbf{e}}_1=3({\mathbf{e}}_2\cdot {\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_1^2)=3(-1-1^2)=3(-2)=-6$ 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基本定理、向量加减法的几何意义、数量积计算。
2. 核心方法：基底法。
3. 避坑指南：准确识别图形中向量的比例关系，利用三角形法则转化未知向量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考平面向量几何压轴题。
2. 结论推广: 若线段中点或分点比例明确，通常采用基底法将目标向量向已知夹角和模长的基向量转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算