2018-天津卷文-13 填-指数运算

本题导读

本题考查指数幂的运算性质，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）已知 $a,b\in \mathbf{R}$，且 $a-3b+6=0$，则 $2^a+\frac{1}{8^b}$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由条件得出 $a=3b-6$，将其代入目标式中进行统一底数化简。
2. 运用换元法转化为关于某个变量的代数式，再利用基本不等式求最小值。

✅【答案】

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$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a-3b+6=0$ 可得 $a=3b-6$。 代入所求式子： $2^a+\frac{1}{8^b}=2^{3b-6}+\frac{1}{(2^3{)}^b}=\frac{(2^3{)}^b}{2^6}+\frac{1}{2^{3b}}=\frac{8^b}{64}+\frac{1}{8^b}$ 令 $t=8^b>0$，则原式化为： $f(t)=\frac{t}{64}+\frac{1}{t}$ 根据基本不等式： $f(t)=\frac{t}{64}+\frac{1}{t}\ge 2\sqrt{\frac{t}{64}\cdot \frac{1}{t}}=2\times \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$ 当且仅当 $\frac{t}{64}=\frac{1}{t}⟹t=8$（即 $b=1,a=-3$）时取等号。 答案：$\frac{1}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数幂运算、基本不等式求最值。
2. 核心方法：代入消元与换元法。
3. 避坑指南：应用基本不等式时必须验证“一正、二定、三相等”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与基本不等式结合的常考题。
2. 结论推广: 遇到形如 $A^x+B^{-x}$ 的最值问题，通常通过凑配或换元转化为基本不等式模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-14 填-利用基本不等式求最值
• 2013-山东卷理-12 单-基本不等式求最值
• 2013-重庆卷理-03 单-利用基本不等式求最值