2018-天津卷理-08 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算，以及向量的线性运算与拆分。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB\perp BC,AD\perp CD,\angle BAD=120^{\circ },AB=AD=1$.若点 $E$ 为边 $CD$ 上的动点，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BE}$ 的最小值为()

A. $\frac{21}{16}$　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　C. $\frac{25}{16}$　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 分析几何结构：

• 在 $△ABD$ 中，$AB=AD=1,\angle BAD=120^{\circ }$。由余弦定理或几何关系易得 $BD=\sqrt{3}$，且 $\angle ABD=\angle ADB=30^{\circ }$。
• 因为 $AB\perp BC$ 且 $AD\perp CD$，所以 $\angle CBD=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$，$\angle CDB=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$。
• 结论：$△BCD$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形。

2. 向量拆分（选基底）：

• 设 $\overrightarrow{DE}=t\overrightarrow{DC}$ ($0\le t\le 1$)。
• 将 $\overrightarrow{AE}$ 和 $\overrightarrow{BE}$ 用已知向量 $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AB}$ 等表示。
• $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{DC}$。
• $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BD}+t\overrightarrow{DC}$。

3. 构造函数：

• $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BE}=(\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{DC})\cdot (\overrightarrow{BD}+t\overrightarrow{DC})$。
• 展开后，利用向量夹角和模长计算出关于 $t$ 的二次函数。

4. 求最值：

• 确定 $t$ 的取值范围 $[0,1]$，利用二次函数的顶点公式求出最小值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 几何定量： 在 $△ABD$ 中，$AB=AD=1,\angle BAD=120^{\circ }$。 由余弦定理：$B{D}^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 120^{\circ }=3⟹BD=\sqrt{3}$。 且 $\angle ADB=\angle ABD=30^{\circ }$。 因为 $AD\perp CD,AB\perp BC$，所以 $\angle ADC=\angle ABC=90^{\circ }$。 则 $\angle CDB=\angle ADC-\angle ADB=60^{\circ }$，$\angle CBD=\angle ABC-\angle ABD=60^{\circ }$。 所以 $△BCD$ 为边长为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形，故 $DC=BC=\sqrt{3}$。
2. 向量表示： 设 $\overrightarrow{DE}=t\overrightarrow{DC}$ ($0\le t\le 1$)。 $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{DC}$ $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{DC}$ 计算数量积 $f(t)=\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BE}$： $f(t)=(\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{DC})\cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{DC})$ $f(t)=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BA}+|\overrightarrow{AD}{|}^2+t\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{DC}+t\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{BA}+t\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{AD}+t^2|\overrightarrow{DC}{|}^2$ 已知：

• $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BA}=1\cdot 1\cdot \cos (180^{\circ }-120^{\circ })=\frac{1}{2}$
• $|\overrightarrow{AD}{|}^2=1$
• $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{DC}=0$ (因为 $AD\perp DC$)
• $|\overrightarrow{DC}{|}^2=(\sqrt{3}{)}^2=3$
• $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{BA}=\sqrt{3}\cdot 1\cdot \cos (360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-30^{\circ }\dots )$ (此处计算夹角较繁琐，建议使用 $\overrightarrow{DC}\cdot (\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{BD}-0=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{3}{2}$) 代入合并： $f(t)=\frac{1}{2}+1+0+t(\frac{3}{2})+0+3t^2=3t^2+\frac{3}{2}t+\frac{3}{2}$ (注：重新核对 $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{BA}$。由几何关系知 $\overrightarrow{DC}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 夹角为 $150^{\circ }$，故 $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{BA}=\sqrt{3}\cdot 1\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{3}{2}$)

纠正展开式：$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}\cdot (\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB})=|\overrightarrow{AE}{|}^2-\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AB}$ $|\overrightarrow{AE}{|}^2=|\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{DC}{|}^2=1+3t^2$ $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{DC})\cdot \overrightarrow{AB}=1\cdot 1\cdot \cos 120^{\circ }+t(\sqrt{3}\cdot 1\cdot \cos 150^{\circ })=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t$ $f(t)=(1+3t^2)-(-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t)=3t^2+\frac{3}{2}t+\frac{3}{2}$ (再次校对：$\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{AB}$ 方向。向量 $\overrightarrow{DC}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 延长线夹角为 $150^{\circ }$。计算得 $f(t)=3t^2-\frac{3}{2}t+\frac{3}{2}$) 3. 求最小值： $f(t)=3(t-\frac{1}{4}{)}^2+\frac{21}{16}$ 当 $t=\frac{1}{4}\in [0,1]$ 时，函数取得最小值 $\frac{21}{16}$。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基底选择的艺术：在不规则四边形中，垂直关系是最好的“脚手架”。本题选择 $\overrightarrow{AD}$ 和 $\overrightarrow{DC}$ 作为基底，利用了它们垂直的特性（数量积为 0），极大简化了运算。
2. 动点问题的函数化：看到“动点”，第一反应是引入参数（如 $t$），将几何问题转化为代数函数的最值问题。
3. 计算准确性：压轴题的向量夹角判断是易错点，务必画出向量的起点，统一从一点出发来确定夹角。

📖【试题探源与推广】

Tip

在笔记中可以记录坐标法： 建立以 $D$ 为原点，$DC$ 为 $x$ 轴，$DA$ 为 $y$ 轴的坐标系。 则 $D(0,0),A(0,1),C(\sqrt{3},0)$。 通过角度关系求出 $B(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$。 设 $E(x,0)$，则 $\overrightarrow{AE}=(x,-1),\overrightarrow{BE}=(x-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2})$。 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BE}=x(x-\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{3}{2}=x^2-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}$。 顶点 $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 时，最小值为 $\frac{3}{16}-\frac{3}{8}+\frac{3}{2}=\frac{3-6+24}{16}=\frac{21}{16}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积
• 2010-天津卷文-09 单-向量数量积