2018-天津卷理-09 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数形式及其运算，以及复数除法的分母实数化。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{6+7i}{1+2i}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确目标：将分式形式的复数化为代数形式 $a+bi$。
2. 分母实数化：在分子和分母上同时乘以分母 $1+2i$ 的共轭复数 $1-2i$。
3. 展开并化简：

• 分母利用平方差公式：$(1+2i)(1-2i)=1^2-(2i{)}^2=1-4i^2=5$。
• 分子利用多项式乘法展开。

4. 整理结果：合并同类项，得出最终的实部和虚部。

✅【答案】

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$4-i$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $4-i$

【解析过程】

根据复数的运算法则，分子、分母同乘以分母的共轭复数 $1-2i$： $\frac{6+7i}{1+2i}=\frac{(6+7i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

1. 分母展开： $(1+2i)(1-2i)=1^2-(2i{)}^2=1-4(-1)=1+4=5$
2. 分子展开： $(6+7i)(1-2i)=6-12i+7i-14i^2$ 将 $i^2=-1$ 代入： $=6-5i-14(-1)=6-5i+14=20-5i$
3. 最终计算： $\frac{20-5i}{5}=\frac{20}{5}-\frac{5i}{5}=4-i$

故填入：$4-i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 共轭复数性质：复数 $z=a+bi$ 的共轭复数为 $\bar{z}=a-bi$，且 $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$（结果为非负实数）。
2. 计算陷阱：在分子乘法中，$i$ 的项容易合并错符号，尤其是 $-14i^2$ 变为 $+14$ 这一步是高频丢分点。
3. 结果形式：填空题中复数结果通常要求化为最简代数形式 $a+bi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-03 填-复数除法运算
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法