2018-天津卷理-11 填-正方体性质

本题导读

本题考查正方体的几何性质，以及空间几何体的截面与中心坐标。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）已知正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 1，除面 $ABCD$ 外，该正方体其余各面的中心分别为点 $E,F,G,H,M$（如图），则四棱锥 $M-EFGH$ 的体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别底面 $EFGH$：

• 根据题意，这四个点是正方体四个侧面的中心。
• 它们位于水平高度相同（即正方体高度的一半）的平面内。
• 连接这四个中心，构成的是一个正方形。

2. 计算底面积 $S$：

• 侧面中心到相邻侧面中心的距离可以通过勾股定理计算。由于棱长为 1，相邻中心在水平投影上的距离各为 $1/2$。
• 边长 $a=\sqrt{(1/2{)}^2+(1/2{)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
• 面积 $S=a^2$。

3. 确定高 $h$：

• 顶点 $M$ 是上底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的中心。
• 底面 $EFGH$ 处于正方体高度的中点处。
• 因此，$M$ 到底面 $EFGH$ 的距离 $h=\frac{1}{2}$。

4. 套用体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$。

✅【答案】

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$\frac{1}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{1}{12}$

【解析过程】

1. 分析底面性质： 设正方体侧面中心分别为 $E,F,G,H$。由于正方体棱长为 1，这些中心构成的四边形 $EFGH$ 是一个水平放置的正方形。 其对角线长度等于正方体的棱长 1（例如左侧面中心到右侧面中心的距离）。 由对角线长度 $L=1$ 可得正方形面积： $S_{EFGH}=\frac{1}{2}\times d_1\times d_2=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$ （或者：边长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，面积为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{1}{2}$）
2. 确定棱锥的高： 点 $M$ 为上底面中心，其高度为 1。 底面 $EFGH$ 所在的平面高度为 $\frac{1}{2}$。 故四棱锥 $M-EFGH$ 的高 $h=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
3. 计算体积： $V_{M-EFGH}=\frac{1}{3}\times S_{EFGH}\times h=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$

故填入：$\frac{1}{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 空间位置的对称性：正方体各面中心具有高度的对称性。在本题中，五个点实际上构成了一个正八面体的一半。
2. 公式记忆：锥体体积公式中的 $\frac{1}{3}$ 极易漏掉，需时刻提醒。
3. 截面模型：若将正方体沿高度一半处横截，截面就是一个面积为 $1/2$ 的正方形（顶点在棱的中点或面的中心）。

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📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式