2018-天津卷理-16 解-抽样方法

本题导读

本题考查分层抽样。核心在于分层抽样比例法、排列组合法 (C(n,m))的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.

(1) 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2) 若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.

（i）用 $X$ 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望；

（ii）设 $A$ 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 $A$ 发生的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：分层抽样：

• 计算总体总人数。
• 计算每个部门人数占总体的比例。
• 用比例乘以样本容量 7。

2. 第二问 (i)：分布列与期望：

• 判断模型：从 7 人中抽 3 人，属于“不放回抽取”，且总体分为两类（不足、充足），符合超几何分布。
• 取值范围：$X$ 可能取 $0,1,2,3$。
• 计算概率：使用组合数公式 $P(X=k)=\frac{C_4^k{C}_3^{3-k}}{C_7^3}$ 计算每个点的概率。
• 期望公式：$E(X)=\sum x_i{p}_i$。

3. 第二问 (ii)：事件 A 的概率：

• 正面分类：既有充足也有不足，意味着 $X=1$（1不足2充足）或 $X=2$（2不足1充足）。
• 对立事件法：$A$ 的对立事件是“全是睡眠不足”或“全是睡眠充足”。即 $1-P(X=0)-P(X=3)$。

✅【答案】

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(1) 甲、乙、丙分别抽取 $3$、$2$、$2$ 人

(2)(i) $P(X=0)=\frac{4}{35}$，$P(X=1)=\frac{12}{35}$，$P(X=2)=\frac{18}{35}$，$P(X=3)=\frac{4}{35}$，$E(X)=\frac{12}{7}$

(2)(ii) $P(A)=\frac{6}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 三个部门的总人数为 $24+16+16=56$。 抽样比为 $\frac{7}{56}=\frac{1}{8}$。

• 甲部门应抽取人数：$24\times \frac{1}{8}=3$ 人；
• 乙部门应抽取人数：$16\times \frac{1}{8}=2$ 人；
• 丙部门应抽取人数：$16\times \frac{1}{8}=2$ 人。 所以，应从甲、乙、丙三个部门分别抽取 3 人，2 人，2 人。

(2)（i） 由题意可知，随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$。 样本总数为 $C_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$。 各取值的概率如下：

• $P(X=0)=\frac{C_4^0{C}_3^3}{35}=\frac{1}{35}$；

• $P(X=1)=\frac{C_4^1{C}_3^2}{35}=\frac{4\times 3}{35}=\frac{12}{35}$；

• $P(X=2)=\frac{C_4^2{C}_3^1}{35}=\frac{6\times 3}{35}=\frac{18}{35}$；

• $P(X=3)=\frac{C_4^3{C}_3^0}{35}=\frac{4\times 1}{35}=\frac{4}{35}$。

则 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

数学期望： $E(X)=0\times \frac{1}{35}+1\times \frac{12}{35}+2\times \frac{18}{35}+3\times \frac{4}{35}=\frac{0+12+36+12}{35}=\frac{60}{35}=\frac{12}{7}$。

（ii） 方法一（正面分类）： 事件 $A$ 包含两种情况：$X=1$ 或 $X=2$。 $P(A)=P(X=1)+P(X=2)=\frac{12}{35}+\frac{18}{35}=\frac{30}{35}=\frac{6}{7}$。

方法二（对立事件）： 事件 $A$ 的对立事件 $\bar{A}$ 为“全是睡眠不足”或“全是睡眠充足”，即 $X=3$ 或 $X=0$。 $P(A)=1-P(X=0)-P(X=3)=1-\frac{1}{35}-\frac{4}{35}=1-\frac{5}{35}=\frac{30}{35}=\frac{6}{7}$。 所以，事件 $A$ 发生的概率为 $\frac{6}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 超几何分布识别：只要是“从有限个对象中抽取一部分，且对象分为两类”，就是超几何分布。其概率公式由组合数 $C$ 构成。
2. 期望的快捷计算：对于超几何分布 $X\sim H(N,M,n)$，期望公式为 $E(X)=n\cdot \frac{M}{N}$。本题中 $E(X)=3\times \frac{4}{7}=\frac{12}{7}$，可用于快速验算。
3. 分布列检查：求完分布列后，务必检查各概率之和是否等于 1。

🚀 【下一步建议】 需要我继续录入 第 17 题（立体几何：线面关系与空间角） 的解析代码吗？

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-20
• 2011-广东卷理-17
• 2011-辽宁卷理-19