2018-江苏卷-08 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及双曲线的渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点 $F(c,0)$ 到一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}c$，则其离心率的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确渐近线方程：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $bx\pm ay=0$。
2. 计算焦点到渐近线的距离：

• 右焦点坐标为 $F(c,0)$。
• 利用点到直线距离公式：$d=\frac{|bc\pm a\cdot 0|}{\sqrt{b^2+a^2}}=\frac{bc}{c}=b$。
• （注：这是一个非常重要的几何结论，可以直接快速求解）

3. 建立方程求离心率：

• 根据题意知 $b=\frac{\sqrt{3}}{2}c$。
• 利用双曲线基本关系式 $c^2=a^2+b^2$，将 $b$ 代入即可求出 $a$ 与 $c$ 的关系，最后通过 $e=\frac{c}{a}$ 计算离心率。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2

【解析过程】 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条渐近线方程可化为 $bx-ay=0$。 其右焦点 $F(c,0)$ 到该渐近线的距离为： $d=\frac{|bc-a\cdot 0|}{\sqrt{b^2+a^2}}$ 因为 $a^2+b^2=c^2$（$c>0$），所以分母为 $\sqrt{c^2}=c$。 故 $d=\frac{bc}{c}=b$。

由已知条件得： $b=\frac{\sqrt{3}}{2}c$ 将其代入 $a^2=c^2-b^2$ 得： $a^2=c^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)}^2=c^2-\frac{3}{4}{c}^2=\frac{1}{4}{c}^2$ 因为 $a>0,c>0$，开方得： $a=\frac{1}{2}c$ 所以双曲线的离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{c}{\frac{1}{2}c}=2$

故填入：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 双曲线的“黄金直角三角形”：在双曲线中，实半轴 $a$、虚半轴 $b$、半焦距 $c$ 构成一个直角三角形（$a^2+b^2=c^2$）。
2. 必须秒出的几何结论（强烈建议背诵）：

• 焦点到渐近线的距离恒为 $b$。
• 中心（原点）到焦点在渐近线上投影点的距离恒为 $a$。

3. 方程思维：求离心率 $e$ 的本质就是寻找 $a,b,c$ 之间的齐次等式。只要得到了任何关于它们的齐次方程，都可以两边同除以 $a^2$ 或 $c^2$ 转化为 $e$ 的方程。

🚀 【探究延伸：双曲线的特征直角三角形】

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个极其重要的几何模型，利用它可以实现“读题即快速求解”：

• 特征三角形：过双曲线的焦点 $F$ 向渐近线作垂线，垂足为 $P$，原点为 $O$。则 $△OPF$ 是一个三边长分别为 $a,b,c$ 的直角三角形。
• 线段对应关系：
• 斜边 $|OF|=c$
• 直角边（焦点到渐近线距离）$|PF|=b$
• 直角边（原点到垂足距离）$|OP|=a$
• 角度与离心率的极简关系：设渐近线与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$。
• 在 $Rt△OPF$ 中，$\sin \theta =\frac{|PF|}{|OF|}=\frac{b}{c}$，$\cos \theta =\frac{|OP|}{|OF|}=\frac{a}{c}$。
• 而离心率 $e=\frac{c}{a}$，恰好是 $\cos \theta$ 的倒数：$e=\frac{1}{\cos \theta }$。
• 本题秒解演示：已知焦点到渐近线距离 $b=\frac{\sqrt{3}}{2}c$，即 $\sin \theta =\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。由于 $\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$，可知 $\theta =60^{\circ }$。那么 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，直接得出 $e=\frac{1}{\cos 60^{\circ }}=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程