2018-江苏卷-10 填-几何体体积

本题导读

本题考查空间几何体的体积计算，以及正方体的内接多面体。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别几何体：正方体共有 6 个面，以这 6 个面的中心为顶点，构成的多面体是一个正八面体（6 个顶点，8 个正三角形面）。
2. 分割转化：直接求正八面体体积没有现成公式，可以将其“上下平分”。以正方体前后左右四个侧面的中心为顶点，构成一个正方形截面。这个截面将多面体分成了上下两个完全相同的正四棱锥。
3. 计算底面积：该正四棱锥的底面正方形，其对角线长度恰好等于正方体的棱长（即对角线长为 2）。其面积 $S=\frac{1}{2}\times \text{对角线}\times \text{对角线}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。（也可通过勾股定理算出其边长为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，面积为 $(\sqrt{2}{)}^2=2$）。
4. 计算高与体积：正四棱锥的高是正方体上下底面中心到底面（刚刚切出的正方形截面）的距离，也就是正方体棱长的一半，高 $h=1$。
5. 得出总结果：总体积等于两个正四棱锥体积之和。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{4}{3}$

【解析过程】 由图及空间结构可知，以正方体 6 个面的中心为顶点的多面体是一个正八面体。 我们可以将该多面体沿水平方向的 4 个面的中心所在的平面切开，将其分割为上下两个全等的正四棱锥。 对于其中一个正四棱锥：

• 底面：是一个正方形。该正方形的顶点分别为正方体四个侧面的中心。由几何关系可知，该正方形的边长等于正方体相邻两个侧面中心之间的距离，即 $a=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 所以底面积 $S=(\sqrt{2}{)}^2=2$。
• 高：顶点（上底面或下底面的中心）到该水平截面的距离等于正方体棱长的一半。正方体棱长为 2，所以高 $h=1$。

根据棱锥的体积公式，一个正四棱锥的体积为： $V_1=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 2\times 1=\frac{2}{3}$

该多面体由两个这样的正四棱锥组合而成，所以总体积为： $V=2V_1=2\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$

故填入：$\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 割补法的应用：对于不规则或没有直接公式的多面体，寻找其对称面进行“分割”，将其转化为常见的棱柱、棱锥是立体几何中的常规操作。
2. 几何体特征把握：需要具备基本的空间想象力，能在脑海中构建出“各面中心连线”后的骨架图，看清底面和高的长度来源。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个非常优美的几何结论，以后遇到同类题可以直接“快速求解”：

• 概念：正方体和正八面体互为对偶多面体（将一个多面体的各个面中心连线，就得到了它的对偶多面体）。
• 比例结论：以正方体各面中心为顶点构成的正八面体，其体积恰好等于原正方体体积的 $\frac{1}{6}$。
• 本题验证：原正方体棱长为 2，体积 $V_{正方体}=2^3=8$。 内接正八面体体积 $V=8\times \frac{1}{6}=\frac{4}{3}$。直接得出答案！

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开