2018-江苏卷-12 填-圆的方程

本题导读

本题考查圆的方程，以及直线与圆的交点。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A$ 为直线 $l:y=2x$ 上在第一象限内的点，$B(5,0)$，以 $AB$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $l$ 交于另一点 $D$.若 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$，则点 $A$ 的横坐标为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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方法一：代数解析法（通法）

1. 设点与圆：设 $A(a,2a)$（$a>0$），由于 $AB$ 为直径，圆心 $C$ 为 $AB$ 中点，直接写出以 $A,B$ 为直径端点的圆的方程：$(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0$。
2. 求交点 $D$：将直线 $l$ 的方程 $y=2x$ 代入圆的方程，解出两个根，一个对应点 $A$，另一个就对应点 $D$。
3. 向量运算：求出 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 的坐标，利用 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$ 列出关于 $a$ 的方程求解。

方法二：几何转化法（巧解，强烈推荐）

1. 挖掘向量条件的几何意义：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0⟹CD\perp AB$。
2. 结合圆的性质：因为 $AB$ 是直径，$C$ 是圆心（也是 $AB$ 的中点），在 $△ADB$ 中，中线 $CD$ 垂直于底边 $AB$，所以 $△ADB$ 是以 $AB$ 为底的等腰三角形，即 $AD=BD$。
3. 利用直角三角形：又因为 $AB$ 是直径，点 $D$ 在圆上，所以 $\angle ADB=90^{\circ }$（即 $BD\perp AD$）。由于 $A,D$ 都在直线 $l$ 上，所以 $BD$ 垂直于直线 $l$。
4. 极简计算：点 $D$ 其实就是点 $B(5,0)$ 到直线 $l:2x-y=0$ 的垂足。求出 $D$ 的坐标后，利用 $AD=BD$ 即可轻松解出 $A$ 的横坐标。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 3

【解析过程】

解法一：纯代数法 设 $A(a,2a)$，因为 $A$ 在第一象限，所以 $a>0$。 $B(5,0)$，则圆心 $C$ 的坐标为 $\left(\frac{a+5}{2},a\right)$。 以 $AB$ 为直径的圆的方程为： $(x-5)(x-a)+(y-0)(y-2a)=0$ 将直线 $l:y=2x$ 代入上述圆的方程，得： $(x-5)(x-a)+2x(2x-2a)=0$ 展开并化简： $x^2-(a+5)x+5a+4x^2-4ax=0$ $5x^2-5(a+1)x+5a=0$ $x^2-(a+1)x+a=0$ 解得 $x=a$ 或 $x=1$。 因为 $A$ 的横坐标为 $a$，所以 $D$ 的横坐标为 1，代入 $y=2x$ 得 $D(1,2)$。

现计算向量坐标： $\overrightarrow{AB}=(5-a,-2a)$ $\overrightarrow{CD}=\left(1-\frac{a+5}{2},2-a\right)=\left(\frac{-a-3}{2},2-a\right)$ 由 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$，得： $(5-a)\left(\frac{-a-3}{2}\right)+(-2a)(2-a)=0$ 两边同乘 2 得： $(5-a)(-a-3)-4a(2-a)=0$ $-5a-15+a^2+3a-8a+4a^2=0$ $5a^2-10a-15=0⟹a^2-2a-3=0$ 解得 $a=3$ 或 $a=-1$。 又因为 $a>0$，所以 $a=3$。

解法二：几何法（快速求解） 由 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$ 知 $CD\perp AB$。 因为 $AB$ 是直径，$C$ 是圆心，所以在 $△ADB$ 中，中线 $CD\perp AB$，故 $AD=BD$。 又因 $AB$ 是直径，$\angle ADB=90^{\circ }$，即 $BD\perp AD$。 因为 $A,D$ 都在直线 $l$ 上，所以 $BD\perp l$。 设直线 $BD$ 的方程为 $y-0=-\frac{1}{2}(x-5)⟹x+2y-5=0$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=2x\\ x+2y-5=0\end{array}$，解得 $x=1,y=2$，即 $D(1,2)$。 计算 $BD$ 的长度的平方：$|BD{|}^2=(1-5{)}^2+(2-0{)}^2=20$。 设 $A(a,2a)$，因为 $AD=BD$，所以 $|AD{|}^2=20$： $(a-1{)}^2+(2a-2{)}^2=20$ $5(a-1{)}^2=20⟹(a-1{)}^2=4$ 解得 $a-1=2$ 或 $a-1=-2$，即 $a=3$ 或 $a=-1$。 由于 $a>0$，所以 $A$ 的横坐标 $a=3$。

故填入：3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “直径式”圆方程：已知直径两端点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$，圆的方程可快速写为 $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$。这比先求圆心和半径再写标准方程要快得多。
2. 向量垂直的几何翻译：在解析几何中，看到 $\vec{m}\cdot \vec{n}=0$，一定要立刻联想到垂直，并观察图形中是否隐藏了特殊的直角三角形或等腰三角形。几何法的计算量往往只有代数法的十分之一。
3. 韦达定理的妙用：在解法一中，联立直线与圆得到 $x^2-(a+1)x+a=0$。由于交点之一必定是 $A$（横坐标为 $a$），根据韦达定理两根之积等于 $a$，立刻就能看出另一根 $x_D=1$，避免了使用求根公式的繁琐。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立一个“向量条件几何化”的专题。遇到以下向量等式，直接翻译为几何特征，能省去大量代数计算甚至做到读题快速求解：

• 数量积为零：$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0⟺PA\perp PB⟺$ 点 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上。
• 含中点的数量积：若 $C$ 为 $AB$ 中点，且 $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=0⟺CD\perp AB⟺△DAB$ 是以 $D$ 为顶点的等腰三角形（$DA=DB$）。 (注：本题在此基础上，叠加了 $D$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，从而直接升级为等腰直角三角形！)
• 模长与加减：$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}|⟺\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0⟺△PAB$ 为直角三角形（或以 $PA,PB$ 为邻边的平行四边形是矩形）。
• 角平分线模型：$\overrightarrow{OP}=\lambda \left(\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}+\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}\right)⟺$ 射线 $OP$ 是 $\angle AOB$ 的角平分线（利用单位向量构造菱形对角线）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理