2018-江苏卷-15 解-线面平行

本题导读

本题考查空间线面平行的判定。核心在于线面平行判定定理、面面垂直判定定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=AB$，$A{B}_1\perp B_1{C}_1$. 求证：

(1) $AB\parallel$ 平面 $A_1{B}_{1}C$；

(2) 平面 $AB{B}_1{A}_1\perp$ 平面 $A_{1}BC$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：证明线面平行（找线线平行）

• 目标：证明 $AB\parallel$ 平面 $A_1{B}_{1}C$。

• 寻找平面内的平行线：在平行六面体中，上下底面平行且全等，显然 $AB\parallel A_1{B}_1$。

• 落实定理：指出 $A_1{B}_1$ 在平面 $A_1{B}_{1}C$ 内，而 $AB$ 在平面外，根据线面平行的判定定理即可得证。

2. 第二问：证明面面垂直（找线面垂直）

• 目标：证明平面 $AB{B}_1{A}_1\perp$ 平面 $A_{1}BC$。
• 降维策略：要证面面垂直，通常需要在其中一个平面内找到一条直线，证明它垂直于另一个平面。我们观察平面 $AB{B}_1{A}_1$ 中的直线 $A{B}_1$。
• 寻找两条相交垂线：
  • 条件 1：已知 $A{B}_1\perp B_1{C}_1$。因为 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是平行六面体，所以 $BC\parallel B_1{C}_1$。平移垂直关系可得 $A{B}_1\perp BC$。
  • 条件 2：已知 $A{A}_1=AB$。在平行六面体中，侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 是平行四边形。邻边相等的平行四边形是菱形。菱形的对角线互相垂直，所以 $A{B}_1\perp A_{1}B$。
• 升维得出结论：$A{B}_1$ 垂直于平面 $A_{1}BC$ 内的两条相交直线 $BC$ 和 $A_{1}B$，故 $A{B}_1\perp$ 平面 $A_{1}BC$。又因为 $A{B}_1\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，根据面面垂直的判定定理即得结论。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明：

(1) 在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，四边形 $AB{B}_1{A}_1$ 是平行四边形， 所以 $AB\parallel A_1{B}_1$。 因为 $AB\not\subset$ 平面 $A_1{B}_{1}C$，且 $A_1{B}_1\subset$ 平面 $A_1{B}_{1}C$， 根据线面平行的判定定理， 所以 $AB\parallel$ 平面 $A_1{B}_{1}C$。

(2) 在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 为平行四边形。 又因为已知 $A{A}_1=AB$， 所以四边形 $AB{B}_1{A}_1$ 为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 根据菱形的性质，其对角线互相垂直，因此有： $A{B}_1\perp A_{1}B$ 在平行六面体中，底面互相平行，故 $BC\parallel B_1{C}_1$。 已知条件给出 $A{B}_1\perp B_1{C}_1$， 所以： $A{B}_1\perp BC$ 在平面 $A_{1}BC$ 中，$A_{1}B\cap BC=B$，且 $A_{1}B\subset$ 平面 $A_{1}BC$，$BC\subset$ 平面 $A_{1}BC$。 因为直线 $A{B}_1$ 垂直于平面 $A_{1}BC$ 内的两条相交直线， 所以： $A{B}_1\perp 平面A_{1}BC$ 又因为直线 $A{B}_1\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$， 根据面面垂直的判定定理， 所以平面 $AB{B}_1{A}_1\perp$ 平面 $A_{1}BC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 几何体特征的挖掘：平行六面体是一个非常丰富的条件库。它意味着：所有的面都是平行四边形，对边平行且相等。很多同学容易忽略 $A{A}_1=AB$ 这一条件实际上是在“升级”侧面，将其从普通的平行四边形升级为了菱形。
2. 书写规范（得分点）：

• 在证明线面平行时，三个条件缺一不可：线在面外、线在面内、线线平行。缺少“$AB\not\subset$ 平面 $A_1{B}_{1}C$”可能会被扣掉步骤分。
• 在证明线面垂直时，必须要点明“两直线相交”（如 $A_{1}B\cap BC=B$），这也是不可省略的采分点。

3. 垂直关系的传递：在立体几何中，看到线段之间的平行（$BC\parallel B_1{C}_1$），要立刻想到平移垂直关系。这是处理异面直线垂直的最常用手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个通用的“降维与升维”思维链：

• 目标：面面垂直 ($V_3$)
• $⟹$ 寻找：线面垂直 ($V_2$)
  • $⟹$ 寻找：线线垂直 ($V_1$) × 2 组 (且相交)
• 这个过程就像是一个“俄罗斯套娃”。我们在草稿纸上思考时是“自上而下”降维寻找条件；在卷面上书写证明过程时，则是“自下而上”升维进行推导。本题中，$A{B}_1\perp A_{1}B$（菱形）和 $A{B}_1\perp BC$（平移转化）就是那两组基础的线线垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-16 解-线面平行垂直
• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直