2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直

本题导读

考查线面平行与面面垂直。(1) 中位线 $EF\parallel BC$；(2) $A_{1}D\perp B{B}_1$ 且 $A_{1}D\perp B_{1}C$，得 $A_{1}D\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$E$、$F$ 分别是 $A_{1}B$、$A_{1}C$ 的中点，点 $D$ 在 $B_1{C}_1$ 上，$A_{1}D\perp B_{1}C$.求证：

(1) $EF\parallel$ 平面 $ABC$；

(2) 平面 $A_{1}FD\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$.

🔍【思路分析】

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1. (1) 在 $△A_{1}BC$ 中，$E$、$F$ 为中点，中位线 $EF\parallel BC$，且 $BC\subset$ 平面 $ABC$。
2. (2) 直三棱柱中 $B{B}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$，故 $B{B}_1\perp A_{1}D$；又 $A_{1}D\perp B_{1}C$，两线相交，得线面垂直。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△A_{1}BC$ 中，$E$、$F$ 分别是 $A_{1}B$、$A_{1}C$ 的中点，所以由中位线定理得 $EF\parallel BC$。 又 $BC\subset$ 平面 $ABC$，且 $EF$ 不在平面 $ABC$ 内，故 $EF\parallel$ 平面 $ABC$。 (2) 因为 $A_{1}D$ 在平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 内，而平面 $A_1{B}_1{C}_1\parallel$ 平面 $ABC$，又 $B{B}_1\perp$ 平面 $ABC$，所以 $A_{1}D\perp B{B}_1$。 题设给出 $A_{1}D\perp B_{1}C$。直线 $B{B}_1$，$B_{1}C$ 是平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内的两条相交直线，因此 $A_{1}D\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$。 又 $A_{1}D\subset$ 平面 $A_{1}FD$，所以平面 $A_{1}FD\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行与面面垂直

核心方法：中位线证线线平行；线面垂直升维

避坑指南：$A_{1}D\perp B{B}_1$ 要靠 $B{B}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$，不是题给条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱中证平行与垂直是立体几何常规组合。

结论推广：(1) 中位线；(2) 找平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内两条相交直线都垂直于 $A_{1}D$。

方法推广：证明面面垂直必须写”相交直线”与”$A_{1}D\subset$ 平面 $A_{1}FD$“两个落点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直
• 2012-新课标卷文-19 解-面面垂直与截面体积