2018-江苏卷-21B 解-行列式

本题导读

本题考查二阶矩阵的行列式。核心在于公式法、逆矩阵乘法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分. B.[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right]$.

(1) 求 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$；

(2) 若点 $P$ 在矩阵 $A$ 对应的变换作用下得到点 $P^{\prime }(3,1)$，求点 $P$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求逆矩阵

• 计算矩阵 $A$ 的行列式（规定符号为 $\det (A)$ 或 $|A|$），即主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
• 判断行列式是否为 0。不为 0 则矩阵可逆。
• 利用二阶逆矩阵公式直接写出结果。

2. 第二问：矩阵变换求原像

• 设出点 $P$ 的坐标列向量 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$。
• 根据矩阵变换的定义列出代数方程：$A\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$。
• 在方程两边同时左乘 $A^{-1}$，即可解出点 $P$ 的坐标。

✅【答案】

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(1) $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$

(2) 点 $P$ 的坐标为 $(3,-1)$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right]$， 计算矩阵 $A$ 的行列式： $\det (A)=2\times 2-1\times 3=4-3=1$ 因为 $\det (A)=1\ne 0$，所以矩阵 $A$ 是可逆矩阵。 根据二阶矩阵的逆矩阵公式，可得： $A^{-1}=\frac{1}{1}\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right]$

(2) 设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，其对应的列向量为 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$。 由题意，点 $P$ 在矩阵 $A$ 的变换作用下得到点 $P^{\prime }(3,1)$，则有： $\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ 即： $A\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ 在等式两边同时左乘 $A^{-1}$，得： $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=A^{-1}\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ 代入(1)中求得的 $A^{-1}$： $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\times 3+(-3)\times 1\\ (-1)\times 3+2\times 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6-3\\ -3+2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]$ 因此，点 $P$ 的坐标为 $(3,-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 二阶逆矩阵公式（必背）：对于矩阵 $M=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，若 $\Delta =ad-bc\ne 0$，则 $M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$。

• 口诀：“主对角线换位置，副对角线换符号，最后除以行列式”。

2. 左乘与右乘的区别：在矩阵运算中，乘法不满足交换律。若 $AX=B$，求 $X$ 必须是 $X=A^{-1}B$（左乘）；若是 $XA=B$，则 $X=B{A}^{-1}$（右乘）。几何变换作用于点的列向量时，一律是变换矩阵在左边（即左乘）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理这样一个矩阵解题模块：

• 已知原像求变换后图像：直接乘。$P^{\prime }=A\cdot P$。
• 已知变换后图像求原像：乘逆矩阵。$P=A^{-1}\cdot P^{\prime }$。
• 验证计算结果：做完第二问后，可以把求出来的 $P(3,-1)$ 代回原矩阵算一下 $\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$，如果吻合，说明逆矩阵和坐标计算 100% 正确！

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2015-福建卷理-21 解-行列式
• 2013-湖南卷理-08 单-重心性质
• 2014-福建卷理-21A 解-矩阵与变换