2018-浙江卷-02 单-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）双曲线 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的焦点坐标是()

A. $(-\sqrt{2},0),(\sqrt{2},0)$　　　　　　　　　　　　B. $(-2,0),(2,0)$

C. $(0,-\sqrt{2}),(0,\sqrt{2})$　　　　　　　　　　　　D. $(0,-2),(0,2)$

🔍【思路分析】

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1. 判定焦点位置：观察方程 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$。由于 $x^2$ 项的系数为正，该双曲线的焦点位于 $x$ 轴上。由此可排除 C、D 选项。

2. 提取几何参数：从方程中读出 $a^2=3$，$b^2=1$。

3. 计算半焦距 $c$：在双曲线中，基本量满足 $c^2=a^2+b^2$。

4. 得出最终结果：根据 $c$ 值写出坐标 $(\pm c,0)$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

由双曲线方程 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 可知：

该双曲线的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，

其中 $a^2=3$，$b^2=1$。

根据双曲线中 $a,b,c$ 的关系：

$c^2=a^2+b^2=3+1=4$。

解得 $c=2$。

因此，该双曲线的焦点坐标为 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$。

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基本量关系辨析：

   • 双曲线：$c^2=a^2+b^2$（$c$ 为斜边，指向开口内侧）。

   • 椭圆：$a^2=b^2+c^2$（$a$ 为长半轴）。

     这是学生在解析几何中最容易产生记忆混淆的地方。

2. 焦点位置锁定：

   • 哪个字母前的符号为“正”，焦点就落在哪个轴上。

   • 本题中 $x^2$ 项为正，故焦点在 $x$ 轴；若方程为 $y^2-\frac{x^2}{3}=1$，则焦点在 $y$ 轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便记录该题对应的渐近线求解：

令方程右侧为 0，即 $\frac{x^2}{3}-y^2=0⟹y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程
• 2013-陕西卷理-11 填-双曲线方程