2018-浙江卷-15 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的性质，以及分段不等式的求解。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）已知 $\lambda \in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-4,& x\ge \lambda \\ x^2-4x+3,& x<\lambda \end{array}$.

(1) 当 $\lambda =2$ 时，不等式 $f(x)<0$ 的解集是 $\underline{}$；

(2) 若函数 $f(x)$ 恰有 2 个零点，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（解不等式）：将 $\lambda =2$ 代入，分 $x\ge 2$ 和 $x<2$ 两种情况列出不等式组，分别求解后再取并集。

2. 第二问（零点问题）：

   • 分析子函数零点：$g(x)=x-4$ 的零点为 $x=4$；$h(x)=x^2-4x+3$ 的零点为 $x=1,3$。

   • 分区间讨论：

     • 若 $4$ 是 $f(x)$ 的零点，则必须满足 $4\ge \lambda$，即 $\lambda \le 4$。此时若要恰有 2 个零点，则 $h(x)=0$ 在 $x<\lambda$ 范围内必须且只能贡献 1 个零点。

     • 若 $4$ 不是 $f(x)$ 的零点，则必须满足 $4<\lambda$。此时 $x=4$ 被分到了 $h(x)$ 所在的区间外，那么 $f(x)$ 的零点只能全部由 $h(x)=0$ 在 $x<\lambda$ 范围内贡献（即 $x=1,3$ 都要在范围内）。

✅【答案】

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$(1,4)$；$(1,3]\cup (4,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $(1,4)$；$(1,3]\cup (4,+\infty )$

【解析过程】

第一问：

当 $\lambda =2$ 时，$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-4,& x\ge 2\\ x^2-4x+3,& x<2\end{array}$。

• 当 $x\ge 2$ 时，$x-4<0⟹x<4$，得 $2\le x<4$；

• 当 $x<2$ 时，$x^2-4x+3<0⟹(x-1)(x-3)<0⟹1<x<3$，得 $1<x<2$。

  综上，解集为 $(1,2)\cup [2,4)$，即 $(1,4)$。

第二问：

$f(x)$ 的潜在零点为 $x_1=4$（需满足 $x\ge \lambda$）和 $x_2=1,x_3=3$（需满足 $x<\lambda$）。

1. 若 $x=4$ 是零点：需 $4\ge \lambda$。

   此时 $x=4$ 已经占据 1 个名额，还需要在 $x<\lambda$ 中恰有 1 个零点。

   • 若 $1<\lambda \le 3$，则 $x=1$ 满足 $x<\lambda$ 而 $x=3$ 不满足，恰有 1 个，符合。

   • 若 $\lambda \le 1$ 或 $3<\lambda \le 4$，零点个数不为 1，排除。

     故此种情况 $\lambda \in (1,3]$。

2. 若 $x=4$ 不是零点：需 $4<\lambda$。

   此时 $x=4$ 被排除。若要恰有 2 个零点，则 $x=1$ 和 $x=3$ 必须都满足 $x<\lambda$。

   由于 $1<3<4<\lambda$，则 $x=1$ 和 $x=3$ 显然都在 $x<\lambda$ 范围内。

   故当 $\lambda >4$ 时，恰有 2 个零点（即 1 和 3），符合。

   综上所述，$\lambda$ 的取值范围是 $(1,3]\cup (4,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分段函数的“界限”：$\lambda$ 决定了哪些零点被激活，哪些被抑制。

2. 数形结合：建议在草稿纸上画出 $y=x-4$ 和 $y=x^2-4x+3$ 的完整图象，然后想象一条垂直线 $x=\lambda$ 左右移动，观察落在左边和右边的交点个数。

3. 细节陷阱：端点值（如 $\lambda =1,3,4$）的开闭区间必须通过代入原题严格检验，这是浙江卷填空题拉开差距的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立此类问题的通用模板：

• 第一步：算出所有可能分支的零点候选值。

• 第二步：建立不等式组（候选值与边界的关系）。

• 第三步：分类讨论边界 $\lambda$ 所在的区间。

已完成第 15 题。是否继续录入第 16 题（平面向量的夹角与最值）？

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-07 单-分段函数零点个数
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2014-天津卷文-14 填-分段零点