2018-浙江卷-19 解-线面垂直

本题导读

本题考查立体几何/点、线、面位置关系/直。核心在于空间向量法、建立空间直角坐标系的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）如图，已知多面体 $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$，$A_{1}A,B_{1}B,C_{1}C$ 均垂直于平面 $ABC$，$\angle ABC=120^{\circ }$，$A_{1}A=4$，$C_{1}C=1$，$AB=BC=B_{1}B=2$.

(1) 证明：$A{B}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$；

(2) 求直线 $A{C}_1$ 与平面 $AB{B}_1$ 所成的角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面垂直证明）：
   • 核心逻辑：证明 $A{B}_1$ 垂直于平面内的两条相交直线（如 $A_1{B}_1$ 和 $B_1{C}_1$）。
   • 计算长度：利用勾股定理分别算出 $A{B}_1,A_1{B}_1,A{A}_1$ 等边长的平方。
   • 验证直角：通过 $A{B}_1^2+A_1{B}_1^2=A{A}_1^2$ 证明 $\angle A{B}_1{A}_1=90^{\circ }$。同理处理另一侧。
2. 第二问（线面角计算）：
   • 建系：由于底面是等腰三角形且 $\angle ABC=120^{\circ }$，取 $AC$ 中点 $O$。由 $AB=BC$ 知 $OB\perp AC$。以 $O$ 为原点，射线 $OB$ 为 $x$ 轴，$OC$ 为 $y$ 轴，过 $O$ 作底面垂线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 坐标化：确定点 $A,B,B_1,C_1$ 的坐标，进而求出向量 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B{B}_1}$ 和 $\overrightarrow{A{C}_1}$。
   • 法向量：求解平面 $AB{B}_1$ 的法向量 $\vec{n}$。
   • 公式应用：线面角的正弦值 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{A{C}_1}⟩|$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{39}}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

在梯形 $AB{B}_1{A}_1$ 中，因为 $A{A}_1\parallel B{B}_1$，且 $A{A}_1=4,B{B}_1=2,AB=2$。 由勾股定理可得： $A{B}_1=\sqrt{A{B}^2+B{B}_1^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。 $A_1{B}_1=\sqrt{A{B}^2+(A{A}_1-B{B}_1{)}^2}=\sqrt{2^2+(4-2{)}^2}=2\sqrt{2}$。 因为 $A{B}_1^2+A_1{B}_1^2=(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2=8+8=16=A{A}_1^2$。 由勾股定理逆定理得：$A{B}_1\perp A_1{B}_1$。 同理，利用 $△BC{C}_1$ 等条件可证明 $A{B}_1\perp B_1{C}_1$。 又 $A_1{B}_1\cap B_1{C}_1=B_1$，且均在平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 内。 故 $A{B}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$。

取 $AC$ 中点 $O$，以 $O$ 为原点建立如图所示的空间直角坐标系。 在 $△ABC$ 中，$AB=BC=2,\angle ABC=120^{\circ }$，则 $\angle BAC=30^{\circ }$。 可求得 $OA=OC=\sqrt{3},OB=1$。 点坐标如下： $A(0,-\sqrt{3},0)$，$B(1,0,0)$，$B_1(1,0,2)$，$C_1(0,\sqrt{3},1)$。 求向量： $\overrightarrow{AB}=(1,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{B{B}_1}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{A{C}_1}=(0,2\sqrt{3},1)$。 设平面 $AB{B}_1$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=x+\sqrt{3}y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=2z=0\end{array}$ 令 $y=1$，得 $\vec{n}=(-\sqrt{3},1,0)$。 设直线 $A{C}_1$ 与平面 $AB{B}_1$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{A{C}_1}⟩|=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{A{C}_1}|}=\frac{|0+2\sqrt{3}+0|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{0+12+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\cdot \sqrt{13}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$ 故直线 $A{C}_1$ 与平面 $AB{B}_1$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{39}}{13}$。

💡 【考点总结与回顾】

• 核心考点：线面垂直的判定定理；空间向量求解线面角。
• 避坑指南：在求法向量时，确保计算无误；线面角的计算结果是正弦值，对应向量夹角的余弦绝对值。
• 名师点睛：建立坐标系时，寻找底面相互垂直的直线是关键。若没有现成的垂直关系，利用等腰三角形中线构造垂直是常用技巧。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若要求二面角，则需找出两个平面的法向量计算其夹角。
• 变式思考: 若本题改为求点到平面的距离，可利用向量投影公式 $d=\frac{|\overrightarrow{A{C}_1}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。
• 相关知识点: 勾股定理、法向量性质、空间向量数量积公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2013-福建卷理-19 解-线面垂直