2018-浙江卷-22 解-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质。核心在于坐标法、设而不求法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）如图，已知点 $P$ 是 $y$ 轴左侧（不含 $y$ 轴）一点，抛物线 $C：y^2=4x$ 上存在不同的两点 $A,B$ 满足 $PA,PB$ 的中点均在 $C$ 上.

(1) 设 $AB$ 中点为 $M$，证明：$PM$ 垂直于 $y$ 轴；

(2) 若 $P$ 是半椭圆 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$ ($x<0$) 上的动点，求 $△PAB$ 面积的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（垂直证明）：

   • 设出点 $P,A,B$ 的坐标。

   • 根据中点公式写出 $PA,PB$ 中点的坐标。

   • 将中点坐标代入抛物线方程 $y^2=4x$。你会发现 $A,B$ 的纵坐标 $y_1,y_2$ 是同一个二次方程的两个根。

   • 利用韦达定理求出 $y_1+y_2$ 与 $P$ 点纵坐标 $y_0$ 的关系。如果 $y_1+y_2=2y_0$，则 $M$ 的纵坐标与 $P$ 相等，证明垂直。

2. 第二问（面积范围）：

   • 构建面积公式：由于 $PM$ 平行于 $x$ 轴，$△PAB$ 的面积可以看作底为 $|y_1-y_2|$，高为 $|x_M-x_P|$ 的三角形面积（或者利用水平宽 $\times$ 铅垂高的变形）。

   • 统一变量：利用第一问方程的韦达定理，将面积 $S$ 全部表示为关于 $x_0,y_0$ 的式子。

   • 约束条件：利用 $P$ 在半椭圆上的方程 $y_0^2=4(1-x_0^2)$，将面积转化为关于单一变量 $x_0$ 的函数。

   • 求值域：根据 $x_0\in (-1,0)$，求该函数的值域。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：

设 $P(x_0,y_0)$ ($x_0<0$)，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。

则 $PA$ 的中点为 $(\frac{x_1+x_0}{2},\frac{y_1+y_0}{2})$。

将其代入 $y^2=4x$ 得：$(\frac{y_1+y_0}{2}{)}^2=4\cdot \frac{x_1+x_0}{2}$。

化简为：$\frac{1}{4}(y_1+y_0{)}^2=2(x_1+x_0)$。

因为 $A$ 在抛物线上，所以 $x_1=\frac{y_1^2}{4}$，代入上式：

$(y_1+y_0{)}^2=8(\frac{y_1^2}{4}+x_0)=2y_1^2+8x_0$

展开并整理：

$y_1^2+2y_0{y}_1+y_0^2=2y_1^2+8x_0$

$y_1^2-2y_0{y}_1+8x_0-y_0^2=0$

同理可知，$y_2$ 也满足该方程。即 $y_1,y_2$ 是关于 $y$ 的方程 $y^2-2y_{0}y+8x_0-y_0^2=0$ 的两个不同实根。

根据韦达定理：$y_1+y_2=2y_0$。

由于 $AB$ 中点 $M$ 的纵坐标 $y_M=\frac{y_1+y_2}{2}=y_0$，

所以 $PM$ 线的纵坐标不变，即 $PM\perp y$ 轴。

(2)解：

由(1)中的方程可知：

$|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}=\sqrt{(2y_0{)}^2-4(8x_0-y_0^2)}=\sqrt{8y_0^2-32x_0}=2\sqrt{2(y_0^2-4x_0)}$。

因为 $PM\perp y$ 轴，$△PAB$ 的面积为：

$S=\frac{1}{2}|y_1-y_2|\cdot |x_M-x_P|$

其中 $x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{y_1^2+y_2^2}{8}=\frac{(y_1+y_2{)}^2-2y_1{y}_2}{8}=\frac{4y_0^2-2(8x_0-y_0^2)}{8}=\frac{6y_0^2-16x_0}{8}=\frac{3y_0^2-8x_0}{4}$。

$|x_M-x_P|=\frac{3y_0^2-8x_0}{4}-x_0=\frac{3y_0^2-12x_0}{4}=\frac{3}{4}(y_0^2-4x_0)$。

代入面积公式：

$S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2(y_0^2-4x_0)}\cdot \frac{3}{4}(y_0^2-4x_0)=\frac{3\sqrt{2}}{4}(y_0^2-4x_0{)}^{\frac{3}{2}}$。

已知 $P$ 在半椭圆 $x_0^2+\frac{y_0^2}{4}=1$ ($x_0<0$) 上，则 $y_0^2=4-4x_0^2$。

令 $t=y_0^2-4x_0=4-4x_0^2-4x_0=-4(x_0+\frac{1}{2}{)}^2+5$。

因为 $x_0\in (-1,0)$，根据二次函数性质：

当 $x_0\to -1$ 时，$t\to 4$；

当 $x_0=-\frac{1}{2}$ 时，$t_{max}=5$；

当 $x_0\to 0$ 时，$t\to 4$。

所以 $t\in [4,5]$。

由此可得面积 $S$ 的取值范围：

$S\in [\frac{3\sqrt{2}}{4}\cdot 4^{\frac{3}{2}},\frac{3\sqrt{2}}{4}\cdot 5^{\frac{3}{2}}]$

即 $S\in [6\sqrt{2},\frac{15\sqrt{10}}{4}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “中点在曲线上”的转化：这是解析几何中常见的条件。处理方法通常是：设端点 $\to$ 表示中点 $\to$ 代入方程 $\to$ 形成韦达定理。

2. 铅垂高与水平宽：在计算坐标系内不规则三角形面积时，若有一边平行于坐标轴，面积公式 $S=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}$ 非常简洁。若不平行，则常用 $S=\frac{1}{2}|x_1-x_2|\cdot |y_3-y_{线}|$。

3. 计算量控制：解析几何大题往往计算繁杂。本题通过引入中间变量 $t=y_0^2-4x_0$ 极大简化了最后的取值范围讨论，这是优秀的应试策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-14 填-抛物线中点定参
• 2010-大纲卷II文-15 填-抛物线中点定参
• 2010-大纲卷II理-15