2009-新课标卷文-14 填-抛物线中点定参

本题导读

考查抛物线方程。设 $y^2=ax$，与直线 $y=x$ 联立得交点，用中点 $(2,2)$ 定出 $a$。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 已知抛物线 $C$ 的顶点坐标为原点，焦点在 $x$ 轴上，直线 $y=x$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $P(2,2)$ 为 $AB$ 的中点，则抛物线 $C$ 的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 焦点在 $x$ 轴上，设 $C:y^2=ax$（$a\ne 0$）。
2. 联立 $y=x$ 得 $x^2=ax$，交点横坐标 $0$ 与 $a$。
3. 中点横坐标 $\frac{a}{2}=2$，得 $a=4$。

✅【答案】

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$y^2=4x$

✍【详细解析】

Abstract

设抛物线 $C:y^2=ax$。与 $y=x$ 联立，得 $x^2=ax$，解得 $x=0$ 或 $x=a$，对应 $y=0$ 或 $y=a$。 故 $A(0,0)$，$B(a,a)$，中点为 $\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$。由题意 $\frac{a}{2}=2$，得 $a=4$。 故抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的标准方程与中点条件

核心方法：设 $y^2=ax$ 联立消元

避坑指南：焦点在 $x$ 轴上时方程形式为 $y^2=ax$（$a\ne 0$），别设成 $x^2=ay$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与抛物线交点中点是圆锥曲线基础模型。

结论推广：联立消元后用韦达定理或直接解出交点，再用中点公式。

方法推广：过原点的直线与 $y^2=ax$ 联立必有一根为 $0$，可简化运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-02 单-抛物线准线求方程
• 2011-辽宁卷文-07 单-抛物线焦点弦中点距离
• 2011-广东卷文-08 单-圆心轨迹抛物线