2019-上海卷-10 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）某三位数密码锁，每位数字在 0-9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：三位密码，每位都有 10 种选择，总数为 $10\times 10\times 10=1000$。
2. 分析“恰有两位相同”的含义：指三位数字中，有两个位置数字一样，第三个位置数字与前两个不同（排除三位全同的情况）。
3. 策略选择：

• 法一（直接法）：先选出那对相同的数字（10 选 1），再选出它们所在的位置（3 选 2），最后选出剩下的那个不同数字（9 选 1）。
• 法二（间接法）：总概率 1 减去“三位全相同”的概率和“三位全不同”的概率。

✅【答案】

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$0.27$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $0.27$ 或 $\frac{27}{100}$ 【解析过程】 方法一（直接法）： 基本事件总数为 $10^3=1000$。 “恰有两位数字相同”的取法数：

1. 先从 0-9 中选出一个数字作为重复的数字，有 $C_{10}^1$ 种；
2. 从三个位置中选出两个位置放这个重复数字，有 $C_3^2$ 种；
3. 从剩下的 9 个数字中选一个放在最后一个位置，有 $C_9^1$ 种。 符合条件的排列数为 $C_{10}^1\cdot C_3^2\cdot C_9^1=10\times 3\times 9=270$。 则概率 $P=\frac{270}{1000}=\frac{27}{100}=0.27$。

方法二（间接法）： 三位数字全相同的取法有 $C_{10}^1=10$ 种； 三位数字全不相同的取法有 $P_{10}^3=10\times 9\times 8=720$ 种。 则恰有两位数字相同的取法数为 $1000-10-720=270$ 种。 概率 $P=\frac{270}{1000}=0.27$。 故答案为：$0.27$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 关键词理解：“恰有”二字非常关键，它严格限制了相同数字的个数，必须通过分类或扣除法排除掉“三位全同”的情况。
• 密码锁模型与数字组合区别：密码锁是有序的（排列），而选球等模型通常无序。但在计算概率时，只要分子分母的计数标准一致（同为排列或同为组合）即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比三位数字密码锁的各种分布概率：

• 三位全同：$P=\frac{10}{1000}=0.01$
• 三位全异：$P=\frac{720}{1000}=0.72$
• 至少两位相同：$P=1-0.72=0.28$（包含恰有两位和三位全同）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷理-10
• 2013-江苏卷-07 填-古典概型
• 2014-江西卷理-13 填-古典概型