2019-上海卷-14 单-旋转体

本题导读

本题考查圆锥的生成，以及圆锥的体积公式。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 旋转体模型：直角三角形绕一条直角边旋转，该边即为圆锥的高 ($h$)，另一条直角边即为圆锥底面的半径 ($r$)。
2. 分类讨论：

• 情况一：绕长度为 1 的边旋转，则 $r_1=2,h_1=1$。
• 情况二：绕长度为 2 的边旋转，则 $r_2=1,h_2=2$。

3. 体积公式：利用 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 分别计算。
4. 求比值：将两个体积相除得出结论。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 设直角三角形直角边分别为 $a=1,b=2$。 ① 绕长度为 1 的直角边旋转时： 圆锥底面半径 $r_1=2$，高 $h_1=1$。 其体积 $V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot r_1^2\cdot h_1=\frac{1}{3}\pi \cdot 2^2\cdot 1=\frac{4}{3}\pi$。

② 绕长度为 2 的直角边旋转时： 圆锥底面半径 $r_2=1$，高 $h_2=2$。 其体积 $V_2=\frac{1}{3}\pi \cdot r_2^2\cdot h_2=\frac{1}{3}\pi \cdot 1^2\cdot 2=\frac{2}{3}\pi$。

则体积之比 $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi }{\frac{2}{3}\pi }=2$。 故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 半径与高的对应：这是本题唯一的易错点。记住“绕谁转，谁就是高”。
• 比例法技巧：$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2{h}_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2{h}_2}=\frac{r_1^2{h}_1}{r_2^2{h}_2}=\frac{2^2\times 1}{1^2\times 2}=\frac{4}{2}=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便记录： 若直角三角形直角边分别为 $a,b$，则绕 $a$ 边旋转体积 $V_a$ 与绕 $b$ 边旋转体积 $V_b$ 之比为： $\frac{V_a}{V_b}=\frac{b}{a}$ （即体积比等于直角边的反比，因为半径是平方项而高是一次方项）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理