2019-上海卷-16 单-两角和差

本题导读

本题考查两角和的正切公式，以及一元二次方程根的分布。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知 $\tan \alpha \cdot \tan \beta =\tan (\alpha +\beta )$。

① 存在 $\alpha$ 在第一象限，角 $\beta$ 在第三象限；

② 存在 $\alpha$ 在第二象限，角 $\beta$ 在第四象限； 则下列判断正确的是()

A. ①②均正确　　　B. ①②均错误　　　C. ①对，②错　　　D. ①错，②对

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公式展开：利用 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$ 展开已知等式。
2. 变量替换：设 $x=\tan \alpha ,y=\tan \beta$，将问题转化为代数方程 $xy=\frac{x+y}{1-xy}$。
3. 整理方程：化简得 $x^2{y}^2+(1-x)y+x=0$。
4. 象限与符号对应：

• 第一象限：$\tan >0$；第二象限：$\tan <0$；第三象限：$\tan >0$；第四象限：$\tan <0$。
• ① 成立意味着存在 $x>0,y>0$。
• ② 成立意味着存在 $x<0,y<0$。

5. 判别式与韦达定理分析：

• 考虑关于 $y$ 的方程，其判别式 $\Delta =(1-x{)}^2-4x^3$ 需大于等于 0 保证有解。
• 利用 $y_1\cdot y_2=\frac{1}{x}$ 和 $y_1+y_2=\frac{x-1}{x^2}$ 判断根 $y$ 的正负情况。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 由已知得：$\tan \alpha \tan \beta =\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。 设 $x=\tan \alpha ,y=\tan \beta$，则 $xy(1-xy)=x+y$，整理得： $x^2{y}^2+(1-x)y+x=0$。 将其看作关于 $y$ 的二次方程，要使方程有实数解，判别式： $\Delta =(1-x{)}^2-4x^3=-4x^3+x^2-2x+1\ge 0$。 令 $f(x)=-4x^3+x^2-2x+1$，导数 $f^{\prime }(x)=-12x^2+2x-2$。 由于 $f^{\prime }(x)$ 的判别式 $4-4(-12)(-2)<0$ 且开口向下，故 $f^{\prime }(x)<0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。 又 $f(0)=1>0,f(1)=-4<0$，故存在 $x_0\in (0,1)$ 使 $f(x_0)=0$。 当 $x\le x_0$ 时，方程有解。

对于 ①：若 $\alpha$ 在一象限，$\beta$ 在三象限，则 $x>0,y>0$。 此时 $x\cdot y=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}>0$ 成立。 但由韦达定理 $y_1+y_2=\frac{x-1}{x^2}$。 因为 $0<x\le x_0<1$，所以 $x-1<0$，即 $y_1+y_2<0$。 两根之积大于 0 且两根之和小于 0，说明 $y$ 必为负数，与 $y>0$ 矛盾。故 ① 错误。

对于 ②：若 $\alpha$ 在二象限，$\beta$ 在四象限，则 $x<0,y<0$。 当 $x<0$ 时，恒有 $f(x)>0$，方程必有解。 此时两根之积 $y_1{y}_2=\frac{1}{x}<0$，说明方程必有一个负根。 由于 $y$ 可以取到负值，故存在 $y<0$，② 正确。 综上所述，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 函数思维：将三角问题转化为代数方程后，利用导数工具分析判别式的正负性是高年级数学的核心处理方式。
• 细节陷阱：本题极易在得到 $y_1{y}_2=1/x$ 后草率判断。必须结合 $x$ 的取值范围（由判别式限制）同时校验两根之和。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结 $\tan \alpha \tan \beta =\tan (\alpha +\beta )$ 的几何背景： 该等式意味着 $\tan \alpha \tan \beta =\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。 若令 $z=\tan \alpha \tan \beta$，则有 $z(1-z)=\tan \alpha +\tan \beta$。 这类结构在处理三角形内角正切值关系或解析几何斜率乘积问题时经常出现。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-上海卷理-10
• 1978-全国卷-05
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性