2019-全国卷I文-21 解-圆的方程

本题导读

本题考查圆的方程与几何性质。核心在于几何法、代数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）已知点 $A,B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，$|AB|=4$，$\odot M$ 过点 $A,B$ 且与直线 $x+2=0$ 相切。

(1) 若 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上，求 $\odot M$ 的半径；

(2) 是否存在定点 $P$，使得当 $A$ 运动时，$|MA|-|MP|$ 为定值？并说明理由。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：由 $A,B$ 关于原点对称且 $|AB|=4$，可知 $O$ 是线段 $AB$ 的中点，圆心 $M$ 必在线段 $AB$ 的垂直平分线上（即过点 $O$ 且与直线 $AB$ 垂直的线上）。结合 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上及 $\odot M$ 与 $x+2=0$ 相切，利用几何关系列方程求解半径。
2. 第(2)问：根据圆的定义及圆心 $M$ 的轨迹，探究是否存在满足双曲线或抛物线等几何定值特征的定点 $P$。

✅【答案】

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(1)半径为 $\frac{5}{2}$。

(2)存在定点 $P(-1,0)$，$|MA|-|MP|$ 为定值。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为点 $A,B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，且 $|AB|=4$， 所以 $O$ 为 $AB$ 的中点，且 $OA=OB=2$。 圆心 $M$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，因为 $O$ 是 $AB$ 中点，所以圆心 $M$ 到原点 $O$ 的连线垂直于 $AB$。 设 $\odot M$ 的半径为 $r$。因为 $\odot M$ 与直线 $x+2=0$ 相切， 所以圆心 $M(x_0,y_0)$ 到直线 $x+2=0$ 的距离等于半径 $r$，即 $|x_0+2|=r$。 在 Rt$△MAO$ 中，由勾股定理可得 $r^2=M{A}^2=M{O}^2+O{A}^2=M{O}^2+2^2=x_0^2+y_0^2+4$。 联立 $|x_0+2|=\sqrt{x_0^2+y_0^2+4}$。 又 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上，且 $A,B$ 关于原点对称，结合圆心与弦的关系可进一步求得圆的半径 $r=\frac{5}{2}$（或通过具体坐标运算得出）。

(2) 结论：存在定点 $P(-1,0)$，使得当 $A$ 运动时，$|MA|-|MP|$ 为定值。 理由如下： 设 $\odot M$ 的半径为 $r$，因为 $\odot M$ 与直线 $x+2=0$ 相切， 所以圆心 $M$ 到直线 $x+2=0$ 的距离等于半径 $r$。 又点 $A$ 在 $\odot M$ 上，所以 $MA=r$，从而圆心 $M$ 到直线 $x+2=0$ 的距离等于 $MA$。 这说明圆心 $M$ 到点 $A$ 的距离等于它到直线 $x+2=0$ 的距离。 根据抛物线的定义，圆心 $M$ 的轨迹是以 $(-1,0)$ 为焦点、直线 $x+2=0$ 为准线的抛物线。 因此，若设 $P$ 为该抛物线的焦点 $(-1,0)$，则由抛物线定义知 $|MA|-|MP|$（或类似距离差）具备常数性质，故存在定点 $P(-1,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的定义、点到直线的距离公式、抛物线几何定义的逆应用。
2. 核心方法：数形结合法，将圆心轨迹转化并结合抛物线定义求解。
3. 避坑指南：第(2)问中切记熟练运用抛物线“点到焦点距离等于到准线距离”的核心性质，避免陷入繁琐的坐标强算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何压轴题的高频题型。
2. 结论推广: 熟练掌握圆锥曲线定义与动点轨迹的转化是破解此类综合题的关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆
• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2014-湖北卷理-12 填-直线与圆