2019-全国卷I理-15 填-独立重复试验

本题导读

本题考查独立重复试验与相互独立事件，以及古典概型的概率计算公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确“4∶1 获胜”的含义：

• 前 5 场比赛中，甲队赢了 4 场，乙队赢了 1 场。
• 核心约束：第 5 场比赛甲队必须赢（否则在第 4 场或更早决赛就可能已经结束，或者比分不是 4:1）。
• 因此，前 4 场比赛中，甲队的战绩必须是 3 胜 1 负。

2. 主客场顺序对号入座：

• 前 5 场的安排是：主(1)、主(2)、客(3)、客(4)、主(5)。
• 第 5 场（主场）甲队赢，概率为 $0.6$。

3. 分类讨论前 4 场的“1 负”：

• 情况一：那一败发生在主场（第 1 或 第 2 场）。
• 情况二：那一败发生在客场（第 3 或 第 4 场）。

4. 计算总概率：将两类情况的概率相加。

✅【答案】

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0.18

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 0.18

【解析过程】 第一步：确定第 5 场结果 甲队以 4:1 获胜，说明第 5 场甲队必胜，且前 4 场中甲队 3 胜 1 负。 第 5 场是甲队主场，获胜概率 $P_5=0.6$。

第二步：分类讨论前 4 场（2 主 2 客）的战绩 前 4 场甲队要输掉 1 场，有以下两种性质不同的情况：

1. 败在主场（第 1 或 2 场输，其余 3 场赢）：

• 输掉的那场主场概率为 $1-0.6=0.4$。

• 赢下的那场主场概率为 $0.6$。

• 赢下的两场客场概率均为 $0.5$。

• 这种情况的概率为：$C_2^1\times 0.4\times 0.6\times 0.5^2=2\times 0.4\times 0.6\times 0.25=0.12$。

2. 败在客场（第 3 或 4 场输，其余 3 场赢）：

• 输掉的那场客场概率为 $1-0.5=0.5$。
• 赢下的那场客场概率为 $0.5$。
• 赢下的两场主场概率均为 $0.6$。
• 这种情况的概率为：$C_2^1\times 0.5\times 0.5\times 0.6^2=2\times 0.5\times 0.5\times 0.36=0.18$。

第三步：计算总概率 甲队以 4:1 获胜的概率 $P=(\text{前 4 场 3 胜 1 负的概率})\times (\text{第 5 场赢的概率})$ $P=(0.12+0.18)\times 0.6$ $P=0.3\times 0.6=0.18$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• “最后一场必胜”准则：在所有“n 局 m 胜”求特定比分的概率题中，最后一场的胜者必须是最终获胜的那一队。
• 主客场差异：本题与常规二项分布题目的区别在于每次试验的成功概率并不完全相同（0.6 与 0.5 切换），因此必须手动分类讨论或使用多项式展开思想。
• 计算精度：填空题对数字敏感，逻辑正确但小数点算错是该题的主要丢分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 横扫概率：甲队以 4:0 获胜的概率为 $0.6\times 0.6\times 0.5\times 0.5=0.09$。
2. 逆转概率：数学上可以证明，如果两队水平完全一致（胜率均为 0.5），先赢三场被连追四场翻盘的概率仅为 $1/64$。
3. 主场优势的影响：主客场安排（如 2-2-1-1-1 还是 2-3-2）对最终获胜概率有微弱影响，本题的“主主客客主客主”安排对甲队（主场胜率高）较为有利。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-19 解-射击独立事件概率
• 2008-安徽卷文-18 解-卡片抽取概率
• 2013-大纲卷理-20 解-相互独立事件