2019-全国卷II文-19 解-频率分布表

本题导读

本题考查频率分布表。核心在于数据统计法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）某行业主管部门为了了解行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 $y$ 的频数分布表：

$y$ 的分组	$[-0.20,0)$	$[0,0.20)$	$[0.20,0.40)$	$[0.40,0.60)$	$[0.60,0.80)$
企业数	2	24	53	14	7

(1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于 $40\%$ 的企业比例、产值负增长的企业比例；

(2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）。(精确到 $0.01$) 附：$\sqrt{74}\approx 8.602$。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问根据分组频数，将对应组的频数相加除以总数 100 即可求出比例。
2. 第(2)问利用各组中点值与对应频率计算平均数，再利用方差公式计算标准差。

✅【答案】

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(1)增长率不低于 $40\%$ 的企业占比 $0.21$，负增长的企业占比 $0.02$。

(2)平均数约为 $0.30$，标准差约为 $0.17$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)

• 产值增长率不低于 $40\%$（即 $y\ge 0.40$）的企业数共有 $14+7=21$ 个， 故其比例的估计值为 $\frac{21}{100}=0.21$（或 $21\%$）。
• 产值负增长（即 $y<0$）的企业数共有 2 个， 故其负增长的企业比例估计值为 $\frac{2}{100}=0.02$（或 $2\%$）。

(2) 各组的中点值依次为：$-0.10,0.10,0.30,0.50,0.70$，对应的频数分别为 $2,24,53,14,7$。

• 平均数的估计值为： $\bar{y}=\frac{-0.10\times 2+0.10\times 24+0.30\times 53+0.50\times 14+0.70\times 7}{100}$ $=\frac{-0.20+2.40+15.90+7.00+4.90}{100}=\frac{30.00}{100}=0.30$。
• 方差的估计值为： $s^2=\frac{1}{100}[(-0.10-0.30{)}^2\times 2+(0.10-0.30{)}^2\times 24+(0.30-0.30{)}^2\times 53+(0.50-0.30{)}^2\times 14+(0.70-0.30{)}^2\times 7]$ $=\frac{1}{100}[0.16\times 2+0.04\times 24+0+0.04\times 14+0.16\times 7]$ $=\frac{1}{100}[0.32+0.96+0+0.56+1.12]=\frac{2.96}{100}=0.0296$。 标准差的估计值为 $s=\sqrt{0.0296}=\frac{\sqrt{296}}{10}=\frac{2\sqrt{74}}{10}\approx \frac{2\times 8.602}{10}=1.7204\approx 0.17$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布表、平均数与标准差估计。
2. 核心方法：以组中点代表该组水平进行加权计算。
3. 避坑指南：计算方差时注意偏离平方与频数的乘积，运算要细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考统计解答题常考题型。
2. 结论推广: 熟练掌握离散型数据与分组数据的数字特征计算公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2010-安徽卷文-18 解-频率分布表与直方图
• 2015-新课标II卷文-18 解-频率分布直方图
• 2024-新高考II卷-04 单-统计中位数极差平均数