2024-新高考II卷-04 单-统计中位数极差平均数

本题导读

本题考查众数、中位数、平均数，以及极差、方差、标准差。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表：

亩产量（kg）	[900, 950)	[950, 1000)	[1000, 1050)	[1050, 1100)	[1100, 1150)	[1150, 1200)
稻田数（块）	6	12	18	30	24	10

根据表中的数据，结论中正确的是（ ）

A. 100 块稻田亩产量的中位数小于 1050kg

B. 100 块稻田中的亩产量低于 1100kg 的稻田所占比例超过 80%

C. 100 块稻田亩产量的极差介于 200kg 至 300kg 之间

D. 100 块稻田亩产量的平均值介于 900kg 至 1000kg 之间

🔍【思路分析】

破题导航

1. 中位数判定：观察频数的累加情况。100个数据，中位数应在第50和第51个数据之间。计算前几组的频数和，判断50%的分界点落在哪个区间。
2. 比例判定：计算亩产量低于 1100kg 的频数总和（即前四组），除以总样本数100。
3. 极差判定：极差 = 最大值 - 最小值。由于是分组数据，最大值在 $[1150,1200)$ 内，最小值在 $[900,950)$ 内。通过“最大减最小”和“最小减最大”的思想确定极差范围。
4. 平均值估算：利用组中值（每组区间的中点）乘以频数进行加权平均。或者观察数据重心，判断其是否可能在 $[900,1000)$ 这种较低的区间。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定选项 A（中位数） 样本总数为 $100$，中位数应为第 $50$ 和第 $51$ 个数据的平均值 前三组的频数累加：$6+12+18=36$ 前四组的频数累加：$36+30=66$ 因为 $36<50<66$，所以中位数一定落在第四组 $[1050,1100)$ 内 因此中位数 $⩾1050\text{kg}$，故 A 选项错误

第二步：判定选项 B（比例） 亩产量低于 $1100\text{kg}$ 的稻田块数对应前四组频数之和： $n=6+12+18+30=66$ 比例为 $\frac{66}{100}=66\%$ 由于 $66\%<80\%$，故 B 选项错误

第三步：判定选项 C（极差） 极差 $R=x_{\max }-x_{\min }$

• 最大值 $x_{\max }\in [1150,1200)$，即 $1150⩽x_{\max }<1200$

• 最小值 $x_{\min }\in [900,950)$，即 $900⩽x_{\min }<950$ 则极差的最大可能值为 $1200-900=300\text{kg}$ 极差的最小可能值为 $1150-950=200\text{kg}$ 所以极差 $R\in (200,300)$，故 C 选项正确

第四步：判定选项 D（平均值） 各组的组中值分别为：$925,975,1025,1075,1125,1175$ 估算平均数 $\bar{x}$： $\bar{x}=\frac{6\times 925+12\times 975+18\times 1025+30\times 1075+24\times 1125+10\times 1175}{100}$ $\bar{x}=1067\text{kg}$ 显然 $1067>1000$，平均值不在 $[900,1000)$ 之间 故 D 选项错误

故选：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频数分布表的累积频数计算、中位数所在区间的快速定位法则、基于分组边界的极差范围不变量夹逼、样本平均数的宏观重心判定。
2. 核心方法：极端边界作差法（解决分组极差的简化特技）。处理频数表中的极差范围时，很多同学容易由于最大值和最小值都在一个区间段内游降而无从下手。本题演示的**“双向极端值代入法”**，直接抓住区间的绝对上下硬红线（ $1150,1200$ 和 $900,950$ ），通过“小减大”得下界、“大减小”得上界，能够一步将这种模糊的范围判定固化为绝对严密的不等式区间。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（极差计算误用组中值）：部分同学在做 C 选项时，由于受平时计算平均数习惯的影响，误用最后一组的组中值 $1175$ 减去第一组的组中值 $925$，算出 $1175-925=250\text{kg}$。虽然 250 确实在 200 到 300 之间，但这种方法在概念上是残缺的，如果选项换成更精细的范围判定（如判定极差是否可能小于 210），此盲区会导致直接丢分。
• 避坑指南 2（中位数位置计数发生偏移）：个别考生在计算中位数时，认为 100 个数据的中位数就是第 50 个。虽然在本题中第 50 和 51 个数据都在同一组，不显形，但在小样本或临界点精准卡位的题目中，必须明确偶数个样本的中位数是中间两个核心数的算术平均值，防范边界溢出风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版必修第二册第九章《统计》中“总体取值的规律（频数分布表与直方图）”章节后的基础巩固习题。新高考命题组通过引入真实的农业水稻产量测试为文化背景，将原本单一的统计量计算（如单纯让你求平均数）高度融合为四维选肢的综合考查，旨在全面高密度考查考生在离散组别数据下进行“抽象与转化”的必备素养。
2. 结论推广: 可将此类“利用分组数据判别极差”的模型提炼为一般模型：

• 设已知频数分布表的第一组区间为 $[A,B)$，最后一组区间为 $[C,D)$（其中必有频数不为 0 且 $A<B⩽C<D$ ）。
• 由于真实的最大值 $x_{\max }\in [C,D)$，最小值 $x_{\min }\in [A,B)$。
• 根据连续不等式的减法性质，其真实的极差 $R$ 被夹逼在如下规整的开区间结论内： $R\in (C-B,D-A)$
• 本题中第一组为 $[900,950)$，最后一组为 $[1150,1200)$。代入本题数据验证： $R\in (1150-950,1200-900)⟹R\in (200,300)$。这与 C 选项描述完全一致！记住这一“极差不变量网络”，可在未来的模拟考上实现免笔快速判断。

1. 方法推广: 本题所展现的“利用局域区间的端点限制完成全域最值夹逼”的思想，具有极强的通性通法特征。不仅是高一统计客观题的基础题型，未来在选择性必修第三册中的“概率分布列中离散型随机变量期望与方差的最值范围控制”、或者是导数压轴题中“通过划分单调区间利用端点极值筛选超越不等式全域”时，其核心思路——“抓住自变量的空间边界，利用单调性或极端位置剔除干扰项，实现高维信息向静态一元不等式的化归”，其数形转换的代数本质完全合流。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.02 百分位数与四分位数
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-10 填-中位数与方差最小
• 2008-湖南卷文-12 填-统计表总体估计
• 2010-安徽卷文-14 填-分层抽样加权估计