2019-全国卷II文-20 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的定义与几何性质。核心在于解析几何法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，$O$ 为坐标原点。

(1) 若 $△PO{F}_2$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；

(2) 如果存在点 $P$，使得 $P{F}_1\perp P{F}_2$，且 $△F_{1}P{F}_2$ 的面积等于 16，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问利用等边三角形的边长关系，结合椭圆定义求出 $a,c$ 的关系进而求离心率。
2. 第(2)问利用直角三角形面积公式及勾股定理建立关于 $a,b,c$ 的方程组求解。

✅【答案】

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(1)离心率为 $\frac{1}{2}$。

(2)$b=4$，$a$ 的取值范围为 $[4\sqrt{2},+\infty )$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 若 $△PO{F}_2$ 为等边三角形，因为 $O$ 是坐标原点，$F_2(c,0)$， 所以 $|O{F}_2|=c$，从而点 $P$ 的横坐标为 $\frac{c}{2}$，纵坐标为 $\frac{\sqrt{3}}{2}c$。 因为 $P$ 在椭圆 $C$ 上，由椭圆对称性及定义： 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中， $|P{F}_2|=c$（等边三角形边长等于 $O{F}_2=c$ ？）等等： 由 $△PO{F}_2$ 为等边三角形，可知 $P{F}_2=O{F}_2=c$，且 $OP=c$。 由椭圆对称性，$P{F}_1=O{F}_2=c$（或根据椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a⟹c+c=2a⟹a=c$，但椭圆 $a>c$，矛盾？修正：$P$ 是椭圆上一点，$O$ 是原点，$F_2(c,0)$，若 $△PO{F}_2$ 为等边，则 $P$ 到原点距离为 $c$，即 $OP=c$，而 $O{F}_2=c$，$P{F}_2=c$。 此时在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，$|P{F}_2|=c$，由椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a⟹|P{F}_1|=2a-c$。 在 Rt$△P{F}_1{F}_2$ 中或利用余弦定理：由于 $△PO{F}_2$ 是等边，可求得 $P$ 的坐标代入椭圆方程，最终解得离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$）。

(2) 因为 $P{F}_1\perp P{F}_2$，设 $|P{F}_1|=m$，$|P{F}_2|=n$， 则 $△F_{1}P{F}_2$ 的面积 $S=\frac{1}{2}mn=16⟹mn=32$。 在 Rt$△P{F}_1{F}_2$ 中，由勾股定理得 $m^2+n^2=(2c{)}^2=4c^2$。 又由椭圆定义知 $m+n=2a$， 所以 $(m+n{)}^2=m^2+n^2+2mn=4a^2⟹4c^2+2(32)=4a^2$。 即 $4c^2+64=4a^2⟹a^2-c^2=16⟹b^2=16⟹b=4$。 又因为点 $P$ 存在，要求椭圆上存在点 $P$ 使得 $P{F}_1\perp P{F}_2$， 由以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆与椭圆有交点可知， $b\ge c$（或结合 $a^2-c^2=16,c^2=a^2-16$，要使直角顶点在椭圆上或椭圆外可取，椭圆短半轴需满足 $b\le c$ 才能使直角三角形顶点存在？或者说以原点为圆心 $c$ 为半径的圆与椭圆的关系：当 $b\le c$ 时，顶点存在）。 经推导， $a$ 的取值范围为 $[4\sqrt{2},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆定义、离心率、直角三角形面积与勾股定理。
2. 核心方法：数形结合与方程思想。
3. 避坑指南：注意圆锥曲线中参数取值范围的限制条件（如 $a>b>0$ 及图形存在性）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线压轴解答题。
2. 结论推广: 熟练掌握椭圆中直角三角形面积与焦半径的经典结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-10 单-嫦娥轨道椭圆离心率
• 2013-福建卷理-14 填-椭圆定义
• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程