2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程

本题导读

周长 $4a=4\sqrt{3}$ 得 $a=\sqrt{3}$；$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 得 $c=1$，$b^2=2$，方程 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$、$F_2$，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$、$B$ 两点，若 $△A{F}_{1}B$ 的周长为 $4\sqrt{3}$，则 $C$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$　　B. $\frac{x^2}{3}+y^2=1$　　C. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$　　D. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

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周长 $4a=4\sqrt{3}$ 得 $a=\sqrt{3}$；$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 得 $c=1$，$b^2=2$，方程 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$A$、$B$ 在椭圆上：$|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a$，$|B{F}_1|+|B{F}_2|=2a$；又 $F_2$ 在线段 $AB$ 上，$|AB|=|A{F}_2|+|B{F}_2|$。

$△A{F}_{1}B$ 的周长 $=|A{F}_1|+|B{F}_1|+|AB|=|A{F}_1|+|A{F}_2|+|B{F}_1|+|B{F}_2|=4a=4\sqrt{3}$，故 $a=\sqrt{3}$。

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$c=1$，$b^2=a^2-c^2=3-1=2$。

所以 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的定义；焦点三角形的周长；离心率

2. 核心方法：周长化 $4a$；“知 $a$、$e$ 求参数”

3. 避坑指南：“过焦点的弦构成的焦点三角形周长恒为 $4a$“——与直线的位置、倾斜角无关，别试图设直线方程硬算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆焦点三角形周长题（doc 考点定位：椭圆），与 2014 年新课标Ⅰ文第 4 题（双曲线离心率）、2014 年新课标Ⅱ文第 20 题同章。

2. 结论推广: 一般地，过椭圆焦点的弦 $AB$ 与另一焦点构成的三角形周长恒为 $4a$；双曲线对应地是 $4a$ 或 $4a$ 与弦长有关的量，注意区分开口方向。

3. 方法推广: 圆锥曲线定义题：看到”过焦点的弦 + 焦点三角形”先想第一定义，把折线长度换成 $2a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率
• 2014-新课标II卷文-20 解-椭圆离心率