本题导读
本题考查中位数的定义与性质，以及平均数的计算与波动性。
📌【题干】
Question
（2019年全国卷II(理)）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是()
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差
🔍【思路分析】
破题导航
理解“去极端值”操作： 去掉 1 个最高分和 1 个最低分，实际上是剔除了数据序列两端的极大和极小值。 逐项分析特征数：
- 中位数：数据按大小排序后处在正中间的数。
- 平均数：所有数据的算术平均，对极端值极度敏感。
- 方差：反映数据的波动程度，剔除极端值通常会使数据更趋向集中。
- 极差：最大值与最小值的差，直接由最高分和最低分决定。 建模验证： 设 9 个原始评分排序为 。观察去掉 和 后各项的变化。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
【答案】 A 【解析过程】
中位数判定： 原始 9 个评分排序后，中位数为第 5 个数 。 去掉最低分 和最高分 后，剩余 7 个数：。 此时，中位数仍为这 7 个数中排在第 4 位的数，即 。 因此，中位数保持不变。故 A 正确。 平均数判定： 平均数受数据总量和数值大小共同影响。由于被去掉的两个数大小不一定对称，且分母由 9 变为 7，平均数通常会发生变化。故 B 错误。 方差判定： 方差衡量数据的离散程度。去掉两端的极端值后，数据往往更加聚拢，方差通常会减小（除非原始数据全部相等）。故 C 错误。 极差判定： 原始极差为 。 去极端值后的极差为 。 除非 且 ，否则极差必然减小。故 D 错误。
故选：A。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
数字特征的“抗干扰性”：
- 中位数：具有极强的稳健性（Robustness），不受极端值影响，常用于描述收入、评分等分布不均的数据。
- 平均数/方差/极差：均对极端值高度敏感。 实际应用背景： 在体育比赛或歌唱比赛中，采取“去掉最高分和最低分”的做法，目的就是为了消除评委个人偏好（极端高分或低分）对选手的平均分和**波动性（方差）**产生的过度影响，从而使评价更公平。
📖【试题探源与推广】
Tip
可以在笔记中建立如下对比卡片：
特征数 定义 对极端值敏感度 典型应用 平均数 算术平均 极高 全体水平 中位数 位置正中 极低 剔除偏激干扰 众数 出现频率最高 极低 流行趋势 方差 偏差平方平均 高 稳定性评价
🔗【关联脉络】
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