2019-全国卷II理-21 解-轨迹方程

本题导读

本题考查定义法)。核心在于坐标运算法、联立方程组法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）已知点 $A(-2,0)$，$B(2,0)$，动点 $M(x,y)$ 满足直线 $AM$ 与 $BM$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$。记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$。

(1)求 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，点 $P$ 在第一象限，$PE\perp x$ 轴，垂足为 $E$，连结 $QE$ 并延长交 $C$ 于点 $G$。

(i) 证明：$△PQG$ 是直角三角形；

(ii) 求 $△PQG$ 面积的最大值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（轨迹方程）：

• 设 $M(x,y)$，根据斜率公式写出 $k_{AM}$ 和 $k_{BM}$。

• 利用已知乘积 $-\frac{1}{2}$ 建立方程，化简后得到标准方程。

• 易错点：由于斜率存在，必须排除 $x=\pm 2$ 的点。

2. 第二问 (i)（直角三角形证明）：

• 设线求点：设直线 $PQ:y=kx$ ($k>0$)。联立椭圆方程求出 $P,Q$ 的坐标。

• 定点 E：根据 $P$ 的坐标写出 $E$。

• 线 QE 与点 G：求出直线 $QE$ 的斜率和方程，再次联立椭圆方程，利用韦达定理求出 $G$ 的坐标。

• 斜率判定：计算 $k_{PQ}$ 与 $k_{PG}$ 的乘积，若为 $-1$ 则垂直。

3. 第二问 (ii)（面积最值）：

• 利用弦长公式 $|PQ|$ 和 $|PG|$（或利用直角三角形面积公式 $\frac{1}{2}|PQ|\cdot |PG|$）写出面积 $S$ 关于 $k$ 的函数表达式。
• 求导数并判定单调性，寻找 $S$ 的最大值点。

✅【答案】

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(1)$C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$（$x\ne \pm 2$），是椭圆（不含左右顶点）。

(2)（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为 $\frac{16}{9}$。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】

(1)解： 设 $M(x,y)$，由题意知： $k_{AM}=\frac{y}{x+2}$ ($x\ne -2$)，$k_{BM}=\frac{y}{x-2}$ ($x\ne 2$)。 由 $k_{AM}\cdot k_{BM}=-\frac{1}{2}$ 得： $\frac{y}{x+2}\cdot \frac{y}{x-2}=-\frac{1}{2}⟹\frac{y^2}{x^2-4}=-\frac{1}{2}$ 整理得：$x^2-4=-2y^2⟹x^2+2y^2=4$。 化为标准方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ ($x\ne \pm 2$)。 曲线 $C$ 是以原点为中心，焦点在 $x$ 轴上的椭圆（不含左右顶点）。

(2)证明与计算： (i) 证明： 设直线 $PQ:y=kx$ ($k>0$)，椭圆方程 $x^2+2y^2=4$。 联立方程解得：$x^2+2k^2{x}^2=4⟹x=\pm \frac{2}{\sqrt{2k^2+1}}$。 由于 $P$ 在第一象限，故 $P(\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}},\frac{2k}{\sqrt{2k^2+1}})$，$Q(-\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}},-\frac{2k}{\sqrt{2k^2+1}})$。 则 $E$ 点坐标为 $(\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}},0)$。 直线 $QE$ 的斜率 $k_{QE}=\frac{0-(-\frac{2k}{\sqrt{2k^2+1}})}{\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}}-(-\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}})}=\frac{\frac{2k}{\sqrt{2k^2+1}}}{\frac{4}{\sqrt{2k^2+1}}}=\frac{k}{2}$。 直线 $QE$ 的方程为 $y=\frac{k}{2}(x-\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}})$。 联立椭圆方程，利用韦达定理（此处省略繁琐计算过程，详见原题解析），求得点 $G$。 计算 $k_{PG}=\cdots =-\frac{1}{k}$。 $\because k_{PQ}\cdot k_{PG}=k\cdot (-\frac{1}{k})=-1$，$\therefore PQ\perp PG$。 故 $△PQG$ 是直角三角形。

(ii) 面积最大值： 根据直角三角形面积公式，$S=\frac{1}{2}|PQ|\cdot |PG|$。 由坐标运算可得：$S(k)=\frac{8(k^3+k)}{2k^4+5k^2+2}$。 设 $t=k^2$ ($t>0$)，则 $S^2$ 或直接求导。 对 $S(k)$ 关于 $k$ 求导： $S^{\prime }(k)=\frac{-8(k^2-1)(2k^4+3k^2+2)}{(2k^4+5k^2+2{)}^2}$。 令 $S^{\prime }(k)=0$，由于 $k>0$，得 $k=1$。

• 当 $0<k<1$ 时，$S^{\prime }(k)>0$，$S$ 递增；
• 当 $k>1$ 时，$S^{\prime }(k)<0$，$S$ 递减。 故当 $k=1$ 时，$S$ 取得最大值。 $S(1)=\frac{8(1+1)}{2+5+2}=\frac{16}{9}$。 $△PQG$ 面积的最大值为 $\frac{16}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

轨迹方程的完整性： 轨迹题务必考虑分母不为零的情况。本题中 $x\ne \pm 2$ 是必不可少的。 计算量的应对： 解析几何压轴题通常涉及复杂的代数运算。在联立方程和求交点时，利用韦达定理或点的坐标比例关系（如 $x_Q+x_G$）可以减少计算错误。 导数辅助最值： 面对复杂的非分式线性函数，求导是判定单调性和极值的“万能钥匙”。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立如下定值模型：

1. 定点弦垂直：若 $k_{PA}\cdot k_{PB}=\lambda$，且 $A,B$ 是长轴顶点，则轨迹是椭圆或双曲线。
2. 斜率积为常数：这是高考椭圆题目中的高频背景，通常指向椭圆的参数性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-陕西卷文-22 解-轨迹方程与椭圆
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程