2019-全国卷II理-22 解-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化。核心在于直角坐标转化法、几何性质分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）在极坐标系中， $O$ 为极点，点 $M({\rho }_0,{\theta }_0)({\rho }_0>0)$ 在曲线 $C:\rho =4\sin \theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $OM$ 垂直，垂足为 $P$。

(1)当 ${\theta }_0=\frac{\pi }{3}$ 时，求 ${\rho }_0$ 及 $l$ 的极坐标方程；

(2)当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $OM$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程。

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 直接代入 ${\theta }_0$ 求出 ${\rho }_0$。

• 将极坐标下的点 $M,A$ 转化为直角坐标，利用垂直关系（斜率乘积为 -1）写出直线的直角坐标方程。

• 将直角坐标方程重新转化为极坐标方程。

2. 第二问：

• 几何发现：由 $OM\perp AP$ 知，$\angle OPA=90^{\circ }$。
• 轨迹判定：点 $P$ 在以 $OA$ 为直径的圆上。
• 范围限制：$P$ 必须在线段 $OM$ 上，且 $M$ 在圆 $C$ 上运动。需要分析 $\theta$ 的取值范围，确保点 $P$ 的存在性。

✅【答案】

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(1)${\rho }_0=2\sqrt{3}$，$l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{6})=2$。

(2)$P$ 点轨迹的极坐标方程为 $\rho =4\cos \theta$（$\frac{\pi }{4}\le \theta <\frac{\pi }{2}$）。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】 (1)将 ${\theta }_0=\frac{\pi }{3}$ 代入 $C:\rho =4\sin \theta$ 得： ${\rho }_0=4\sin \frac{\pi }{3}=2\sqrt{3}$。 则 $M$ 的直角坐标为 $(2\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{3},2\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{3})=(\sqrt{3},3)$。 极点 $O(0,0)$，则直线 $OM$ 的斜率 $k_{OM}=\sqrt{3}$。 $\because l\perp OM$，$\therefore$ 直线 $l$ 的斜率 $k_l=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。 直线 $l$ 过点 $A(4,0)$，其方程为 $y-0=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-4)$。 化简得：$x+\sqrt{3}y-4=0$。 转化为极坐标：$\rho \cos \theta +\sqrt{3}\rho \sin \theta =4⟹2\rho (\frac{1}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta )=4$。 得 $l$ 的极坐标方程为：$\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{6})=2$。

(2)设 $P(\rho ,\theta )$。由题意 $OP\perp AP$，则点 $P$ 在以 $OA$ 为直径的圆上。 在该圆中，极径 $\rho =|OA|\cos \theta =4\cos \theta$。 确定范围： 点 $M$ 在圆 $\rho =4\sin \theta$ 上，点 $P$ 在线段 $OM$ 上，需满足 ${\rho }_P\le {\rho }_M$。 即 $4\cos \theta \le 4\sin \theta ⟹\tan \theta \ge 1$。 又 $\rho >0$，故 $\cos \theta >0$。 结合 $\theta \in (0,\pi )$，解得 $\frac{\pi }{4}\le \theta <\frac{\pi }{2}$。 故 $P$ 点轨迹的极坐标方程为 $\rho =4\cos \theta$ ($\frac{\pi }{4}\le \theta <\frac{\pi }{2}$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行