2019-全国卷III文-19 解-空间位置关系

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系。核心在于几何法、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）图 1 是由矩形 $ADEB$、$\text{Rt}△ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1$，$BE=BF=2$，$\angle FBC=60^{\circ }$。将其沿 $AB$，$BC$ 折起使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连接 $DG$，如图 2.

(1) 证明：图 2 中的 $A,C,G,D$ 四点共面，且平面 $ABC\perp$ 平面 $BCGE$；

(2) 求图 2 中的四边形 $ACGD$ 的面积。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问证明四点共面，可通过证明 $AD\parallel CG$ 来实现；证明面面垂直可利用线面垂直的判定定理（证明 $AB\perp$ 平面 $BCGE$）。
2. 第(2)问求四边形 $ACGD$ 的面积，根据其形状（平行四边形或梯形等），结合边长与夹角利用面积公式求解。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)面积为 $2\sqrt{6}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在图 1 中，四边形 $ADEB$ 是矩形，故 $AD\parallel BE$，且 $AD=BE$。 菱形 $BFGC$ 中，$CG\parallel BF$，且 $CG=BF$。 折起后 $BE$ 与 $BF$ 重合，设重合后的点为 $E(F)$。 因为 $AD\parallel BE$ 且 $CG\parallel BE$，所以 $AD\parallel CG$。 又 $AD=CG$，故四边形 $ACGD$ 是平行四边形，因此 $A,C,G,D$ 四点共面。 对于面面垂直：在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$AB\perp BC$。 因为折叠后 $BE$ 与 $BF$ 重合，且 $AB\perp BE$，$AB\perp BC$， $BE\cap BC=B$， 所以 $AB\perp$ 平面 $BCGE$。 又因为 $AB\subset$ 平面 $ABC$，所以平面 $ABC\perp$ 平面 $BCGE$。

(2) 解： 由(1)知四边形 $ACGD$ 是平行四边形，其边长 $CG=BF=2$。 在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$AB=1$，$BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}$ 或由菱形边长 $BC=2$，$\angle FBC=60^{\circ }$ 可知 $BC=2$。 从而 $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。 在平行四边形 $ACGD$ 中，$AD=BE=2$，$CG=2$，$AC=\sqrt{5}$。 通过计算可得四边形 $ACGD$ 的高及面积，最终求得其面积为 $2\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间点共面判定、面面垂直、多边形面积。
2. 核心方法：利用平行线判定共面，利用线面垂直判定面面垂直。
3. 避坑指南：折叠前后保持不变的几何量（如边长、角度）要对应准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何折叠问题经典解答题。
2. 结论推广: 熟练掌握平面图形折叠为立体图形后的位置关系转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2006-天津卷理-06 单-线面平行与面面平行的性质
• 2008-湖南卷文-05 单-线面位置关系判定
• 1977-福建卷-06