2019-全国卷III理-05 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的前 $n$ 项和公式 。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）已知各项均为正数的等比数列 $\{a_n\}$ 的前 4 项和为 15，且 $a_5=3a_3+4a_1$，则 $a_3=$()

A. 16　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设基本量： 设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$。由于各项均为正数，可知 $a_1>0$ 且 $q>0$。
2. 列方程组：

• 根据前 4 项和：$a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3=15$。
• 根据项的关系：$a_1{q}^4=3a_1{q}^2+4a_1$。

3. 求解参数：

• 先处理第二个方程，消去 $a_1$ 后得到关于 $q^2$ 的二次方程，解出 $q$。
• 将 $q$ 代入第一个方程求出 $a_1$。

4. 计算目标值： 利用 $a_3=a_1{q}^2$ 得出结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$ ($q>0$)。 由 $a_5=3a_3+4a_1$ 得： $a_1{q}^4=3a_1{q}^2+4a_1$ 因为 $a_1\ne 0$，两边同除以 $a_1$： $q^4-3q^2-4=0$ 因式分解得： $(q^2-4)(q^2+1)=0$ 由于 $q^2+1>0$，故 $q^2=4$。 又因为各项均为正数，所以 $q=2$。

再由前 4 项和 $S_4=15$ 得： $a_1(1+q+q^2+q^3)=15$ 将 $q=2$ 代入： $a_1(1+2+4+8)=15$ $15a_1=15⟹a_1=1$。

最后计算 $a_3$： $a_3=a_1{q}^2=1\times 4=4$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 各项为正的含义：这是一个重要的限制条件。它意味着 $a_1>0$ 且 $q>0$。在解方程 $q^2=4$ 时，可以果断排除 $q=-2$。
2. 方程思想：数列问题的本质往往是方程。本题中第二个方程只含 $q$，这为解题提供了突破口（解联立方程组的常用策略：先消元）。
3. 运算技巧：在处理 $1+q+q^2+q^3$ 时，除了用求和公式，直接按定义相加往往在项数较少时更快且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下等比数列的常用性质，以应对更复杂的题目：

1. 等比中项性质：若 $m+n=p+k$，则 $a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_k$。

• 例如本题中 $a_1\cdot a_5=a_3^2$，如果能利用这个关系，有时可以避开求 $a_1,q$。

2. 子数列性质：

• $\{a_n^2\}$ 仍为等比数列，公比为 $q^2$。
• $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 成等比数列（需注意和不为 0）。

3. 结构观察：

• 看到 $a_1,a_3,a_5$ 这种下标成等差数列的项，它们本身成等比数列。本题方程 $a_5=3a_3+4a_1$ 实际上是三个连续项（在公比为 $q^2$ 的新数列中）的线性组合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-大纲卷理-06 单-等比数列定义与公比