2019-全国卷III理-23 解-柯西不等式

本题导读

本题考查柯西不等式的代数形式：。核心在于构造法（构造常数序列 $1,1,1$）、最小值代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）设 $x,y,z\in \mathbb{R}$，且 $x+y+z=1$。

(1)求 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2$ 的最小值；

(2)若 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2\ge \frac{1}{3}$ 恒成立，证明：$a\le -3$ 或 $a\ge -1$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问 (求最小值)：

• 观察待求式 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2$，这是一个平方和形式。
• 约束条件是 $x+y+z=1$，这是一个一次和形式。
• 构造柯西不等式：利用 $((x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2)(1^2+1^2+1^2)\ge [(x-1)+(y+1)+(z+1){]}^2$。

2. 第二问 (证明参数范围)：

• 题目给出的条件是左侧的最小值 $\ge \frac{1}{3}$。
• 同样利用柯西不等式求出左侧关于参数 $a$ 的最小值表达式。
• 令该最小值 $\ge \frac{1}{3}$，解关于 $a$ 的绝对值不等式即可。

✅【答案】

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(1)最小值为 $\frac{4}{3}$。

(2)证明见解析。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】 (1)解： 由柯西不等式得： $[(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2]\cdot (1^2+1^2+1^2)\ge [(x-1)\cdot 1+(y+1)\cdot 1+(z+1)\cdot 1{]}^2$ 即 $3\cdot [(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2]\ge (x+y+z+1{)}^2$。 将 $x+y+z=1$ 代入上式： $3\cdot [(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2]\ge (1+1{)}^2=4$。 $\therefore (x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2\ge \frac{4}{3}$。 当且仅当 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{1}$，即 $x-1=y+1=z+1$ 时等号成立。 结合 $x+y+z=1$，解得 $x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3},z=-\frac{1}{3}$。 故 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2$ 的最小值为 $\frac{4}{3}$。

(2)证明： 利用柯西不等式求 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2$ 的最小值： $[(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2]\cdot (1^2+1^2+1^2)\ge [(x-2)+(y-1)+(z-a){]}^2$ $3\cdot [(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2]\ge (x+y+z-3-a{)}^2$。 将 $x+y+z=1$ 代入： $3\cdot [(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2]\ge (1-3-a{)}^2=(-2-a{)}^2=(a+2{)}^2$。 $\therefore (x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2\ge \frac{(a+2{)}^2}{3}$。 要使 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2\ge \frac{1}{3}$ 恒成立，只需其最小值大于等于 $\frac{1}{3}$： $\frac{(a+2{)}^2}{3}\ge \frac{1}{3}⟹(a+2{)}^2\ge 1$。 解得 $|a+2|\ge 1$。 即 $a+2\ge 1$ 或 $a+2\le -1$。 解得 $a\ge -1$ 或 $a\le -3$。 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 柯西不等式的结构特征：看到“平方和”与“一次和”的组合，应形成条件反射般的“柯西意识”。

2. 常数构造：在处理 $x+y+z=C$ 类型的约束时，柯西不等式的另一组数通常构造为 $(1,1,1)$，目的是为了直接利用求和条件消元。

3. 等号成立条件：在解答题中，求出最小值后务必简要说明等号成立的条件，以保证逻辑严密。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下进阶技巧：

• 权方和不等式（柯西不等式的变体）：$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{x+y+z}$。如果第一问改成求 $\frac{1}{x-1}+\dots$ 的形式（在变量为正的前提下），可以直接使用。
• 几何意义：柯西不等式本质上是向量数量积性质 $|\vec{u}\cdot \vec{v}|\le |\vec{u}|\cdot |\vec{v}|$ 的坐标表示。第一问实际上是在求空间中平面 $x+y+z=1$ 上的点到点 $(1,-1,-1)$ 距离的平方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式
• 2013-重庆卷理-16 填-绝对值不等式
• 2013-陕西卷理-15 填-柯西不等式的代数形式