2019-北京卷文-16 解-等差等比综合

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的综合。核心在于基本量法与二次函数求最值法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$a_1=-10$，且 $a_2+10,a_3+8,a_4+6$ 成等比数列.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求 $S_n$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：设等差数列的公差为 $d$，将 $a_2,a_3,a_4$ 用 $a_1$ 和 $d$ 表示，利用等比数列的中项性质（中间项的平方等于两边项的积）列出方程求出公差 $d$，进而写出通项公式。
2. 第二问：根据等差数列前 $n$ 项和公式写出 $S_n$ 关于 $n$ 的二次函数表达式，利用对称轴或邻项符号法求出 $S_n$ 的最小值。

✅【答案】

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(1)$a_n=2n-12$。

(2)$S_n$ 的最小值为 $-30$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $a_1=-10$， 所以 $a_2=-10+d$， $a_3=-10+2d$， $a_4=-10+3d$. 已知 $a_2+10,a_3+8,a_4+6$ 成等比数列， 即 $(-10+d+10),(-10+2d+8),(-10+3d+6)$ 成等比数列， 化简得 $d,2d-2,3d-4$ 成等比数列。 根据等比中项性质：$(2d-2{)}^2=d(3d-4)$， 展开得 $4d^2-8d+4=3d^2-4d$， 移项整理得 $d^2-4d+4=0⟹(d-2{)}^2=0⟹d=2$. 所以等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=-10+(n-1)2=2n-12$.

(2) 前 $n$ 项和公式为： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=-10n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2=-10n+n^2-n=n^2-11n$. 法一（二次函数法）： $S_n=n^2-11n={\left(n-\frac{11}{2}\right)}^2-\frac{121}{4}$. 因为 $n$ 为正整数，对称轴为 $n=5.5$， 所以当 $n=5$ 或 $n=6$ 时，$S_n$ 取得最小值。 计算 $S_5=5^2-11(5)=25-55=-30$， $S_6=6^2-11(6)=36-66=-30$. 故 $S_n$ 的最小值为 $-30$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差与等比数列综合、数列求和最值。
2. 核心方法：利用二次函数对称性求离散型变量的最值。
3. 避坑指南：注意 $n$ 必须是正整数，当对称轴不是整数时，应检查距离对称轴最近的两个正整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第16题。
2. 结论推广: 等差数列前 $n$ 项和的最值问题可普遍转化为二次函数的最值问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列
• 2012-福建卷文-17 解-等差等比与古典概型