2019-北京卷文-17 解-概率统计

本题导读

本题考查样本估计总体。核心在于列举法、期望公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了了解某校学生上个月 $A,B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 $A,B$ 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中“仅使用 $A$”和“仅使用 $B$”的学生支付金额分布情况如下：

支付金额（元） \ 支付方式	$(0,1000]$	$(1000,2000]$	大于 2000
仅使用 $A$	18 人	9 人	3 人
仅使用 $B$	10 人	14 人	1 人

(1)从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 $A,B$ 两种支付方式都使用的概率；

(2)从样本“仅使用 $A$”和“仅使用 $B$”的学生中各随机抽取 1 人，以 $X$ 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化。现从样本“仅使用 $A$”的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元。根据抽查结果，能否认为样本“仅使用 $A$”的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用容斥原理求出样本中“都使用”的人数，再根据频率估计概率。

• 样本总数 = 都不使用 + 仅 A + 仅 B + 都使用。

2. 第二问：$X$ 的可能取值为 0, 1, 2。

• 分别计算仅 A 中大于 1000 元的概率 $P_A$ 和仅 B 中大于 1000 元的概率 $P_B$。
• 利用独立事件同时发生的概率公式求解分布列，最后套用期望公式。

3. 第三问：开放性推断题。

• 计算在“人数没有变化”的假设下，抽到 3 人都大于 2000 元的概率。
• 如果概率极小（如低于 0.05 或 0.01），则认为发生了显著变化（统计学中的小概率事件原理）。

✅【答案】

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(1)$0.4$。

(2)$X$ 的分布列为 $P(X=0)=0.24$，$P(X=1)=0.52$，$P(X=2)=0.24$；$E(X)=1$。

(3)能认为有变化（概率 $\frac{1}{4060}$ 极小，属小概率事件）。

✍【详细解析】

Abstract

样本中“仅使用 $A$”的人数为 $18+9+3=30$ 人； 样本中“仅使用 $B$”的人数为 $10+14+1=25$ 人。 样本中 $A,B$ 两种支付方式都使用的人数为： $100-5-30-25=40\text{（人）}$ 故从全校学生中随机抽取 1 人，估计其都使用的概率为： $P=\frac{40}{100}=0.4$

从样本“仅使用 $A$”中抽取 1 人，支付金额大于 1000 元的概率为 $P_A=\frac{9+3}{30}=\frac{12}{30}=0.4$； 从样本“仅使用 $B$”中抽取 1 人，支付金额大于 1000 元的概率为 $P_B=\frac{14+1}{25}=\frac{15}{25}=0.6$。 $X$ 的取值集合为 $\{0,1,2\}$。

• $P(X=0)=(1-0.4)\times (1-0.6)=0.6\times 0.4=0.24$；
• $P(X=1)=0.4\times 0.4+0.6\times 0.6=0.16+0.36=0.52$；
• $P(X=2)=0.4\times 0.6=0.24$。

$X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2
$P$	0.24	0.52	0.24

数学期望为： $E(X)=0\times 0.24+1\times 0.52+2\times 0.24=1$ （或者利用独立增量期望和：$E(X)=P_A+P_B=0.4+0.6=1$）

结论：能认为有变化。 理由： 若本月人数没有变化，则“仅使用 $A$”的学生中支付金额大于 2000 元的概率为 $p=\frac{3}{30}=0.1$。 现从 30 人中随机抽查 3 人（不放回，由于样本较小可近似看作独立重复试验，或直接用古典概型）： 若按不放回抽样：抽到 3 人都大于 2000 元的概率为 $P_0=\frac{C_3^3}{C_{30}^3}=\frac{1}{4060}$。 若按独立重复试验近似：$P_0=0.1^3=0.001$。 该概率值极小，属于在一次试验中几乎不可能发生的小概率事件。 现在该事件发生了，说明原来的概率（人数分布）可能已经发生了显著变化。 （注：只要理由逻辑自洽，说明概率极低即可，北京卷此题答案不唯一，若答“不能”且理由充分亦可）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：容斥原理求交集、离散型随机变量分布列的规范书写、期望的线性性质。
• 避坑指南：计算频率时分母不要写错，例如(2)问中 $P_A$ 的分母是仅 A 的人数 30，而不是总数 100。
• 统计素养：第(3)问体现了新课标对“数据分析”核心素养的考查，理解小概率事件原理是关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若样本量极大，抽样可近似看作二项分布 $B(n,p)$。
• 方法推广: 在处理分布列时，先检查概率和是否等于 1，这是验证正误的简单方法。
• 相关知识点: 互斥事件、独立事件、假设检验初步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-浙江卷理-09 单-数学期望
• 2008-大纲卷I理-20