2019-北京卷文-20 解-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于构造函数法、导数工具分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）已知函数 $f(x)=\frac{1}{4}{x}^3-x^2+x$．

(1)求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 1 的切线方程；

(2)当 $x\in [-2,4]$ 时，求证：$x-6\le f(x)\le x$；

(3)设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|$ ($a\in \mathbb{R}$)，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M(a)$，当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（切线）：利用导数的几何意义。求导 $f^{\prime }(x)$，令 $f^{\prime }(x)=1$ 解出切点横坐标 $x_0$，再代入原函数求纵坐标，最后用点斜式写出方程。

2. 第二问（不等式）：构造差函数。

   • 证明 $f(x)\le x$：令 $g(x)=f(x)-x=\frac{1}{4}{x}^3-x^2$，通过导数分析其在 $[-2,4]$ 上的最大值是否 $\le 0$。

   • 证明 $f(x)\ge x-6$：令 $h(x)=f(x)-x+6=\frac{1}{4}{x}^3-x^2+6$，分析其在 $[-2,4]$ 上的最小值是否 $\ge 0$。

3. 第三问（最值之最小）：

   • 令 $\varphi (x)=f(x)-x$，由第二问已知 $-6\le \varphi (x)\le 0$。

   • $F(x)=|\varphi (x)-a|$。

   • $M(a)$ 是 $|\varphi (x)-a|$ 在区间上的最大距离。根据绝对值性质，这个最大值取决于 $a$ 与 $\varphi (x)$ 值域端点（$-6$ 和 $0$）的距离。

   • 当 $a$ 恰好位于值域的中点时，$M(a)$ 达到最小。

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✅【答案】

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(1)切线方程为 $x-y=0$ 和 $27x-27y-64=0$。

(2)证明见解析。

(3)$a=-3$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

求导得 $f^{\prime }(x)=\frac{3}{4}{x}^2-2x+1$．

令 $f^{\prime }(x)=1$，即 $\frac{3}{4}{x}^2-2x=0$，解得 $x_1=0,x_2=\frac{8}{3}$．

• 当 $x=0$ 时，$f(0)=0$，切点为 $(0,0)$，切线方程为 $y-0=1(x-0)$，即 $x-y=0$．

• 当 $x=\frac{8}{3}$ 时，$f(\frac{8}{3})=\frac{1}{4}(\frac{8}{3}{)}^3-(\frac{8}{3}{)}^2+\frac{8}{3}=\frac{128}{108}-\frac{64}{9}+\frac{8}{3}=\frac{32}{27}-\frac{192}{27}+\frac{72}{27}=-\frac{88}{27}$（此处计算需细心，原解析为 $8/27$ 有误，更正后为 $y=x-\frac{64}{27}$，即 $27x-27y-64=0$）．

(2)证明：

设 $g(x)=f(x)-x=\frac{1}{4}{x}^3-x^2$．

$g^{\prime }(x)=\frac{3}{4}{x}^2-2x=x(\frac{3}{4}x-2)$．

令 $g^{\prime }(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\frac{8}{3}$．

• 在 $[-2,0]$ 上，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 递增；

• 在 $[0,\frac{8}{3}]$ 上，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 递减；

• 在 $[\frac{8}{3},4]$ 上，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 递增．

  比较端点与极值：$g(-2)=-2-4=-6$，$g(0)=0$，$g(4)=16-16=0$．

  所以 $g(x{)}_{max}=0$，即 $f(x)\le x$；

  $g(x{)}_{min}=g(-2)=-6$（注：$g(\frac{8}{3})=-\frac{64}{27}\approx -2.37>-6$）．

  所以 $g(x)\ge -6$，即 $f(x)\ge x-6$．

  综上，$x-6\le f(x)\le x$ 得证．

(3)解：

由(2)可知，当 $x\in [-2,4]$ 时，$f(x)-x$ 的值域为 $[-6,0]$．

$F(x)=|(f(x)-x)-a|$．

记 $u=f(x)-x$，则 $u\in [-6,0]$，$F(u)=|u-a|$．

$M(a)={\max }_{u\in [-6,0]}|u-a|=\max \{|0-a|,|-6-a|\}=\max \{|a|,|a+6|\}$．

• 当 $|a|=|a+6|$ 时，$M(a)$ 取得最小值．

  解 $a^2=(a+6{)}^2⟹a^2=a^2+12a+36⟹12a=-36⟹a=-3$．

  此时 $M(-3)=\max \{|-3|,|3|\}=3$．

  若 $a<-3$，则 $|a|>3$，故 $M(a)>3$；

  若 $a>-3$，则 $|a+6|>3$，故 $M(a)>3$．

  所以当 $M(a)$ 最小时，$a=-3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 二段跳思维：第三问建立在第二问结论的基础上。第二问实际上是为第三问锁定了函数差值的范围（波动的波峰和波谷）。

2. 绝对值的几何意义：$|u-a|$ 表示数轴上点 $u$ 到点 $a$ 的距离。当 $u$ 在 $[-6,0]$ 变动时，要使点 $a$ 到区间内所有点的最大距离最小，$a$ 必须选在区间的正中心。

3. 计算陷阱：第一问中 $x=8/3$ 的函数值计算较繁琐，容易丢分。第三问则侧重逻辑，计算量反而较小。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题的第三问其实是数学中“最佳一致逼近”的一个简化模型：

1. 最小化偏离：给定一个函数 $g(x)$，找一个常数 $a$ 使得 $\max |g(x)-a|$ 最小，结论永远是 $a=\frac{max+min}{2}$，且最小值为 $\frac{max-min}{2}$。

2. 北京卷命题特色：这类题型（Min-Max 问题）考查的是学生对“最差情况中的最好选择”的理解，是北京卷区分高分段考生的经典手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线