2019-北京卷理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数表示法，以及共轭复数的定义。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）已知复数 $z=2+i$，则 $z\cdot \bar{z}=$ ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 明确共轭复数：

   若 $z=a+bi$，则其共轭复数 $\bar{z}=a-bi$。本题中 $z=2+i$，故 $\bar{z}=2-i$。

2. 选择运算方式：

   • 方式一（定义法）：直接利用多项式乘法或平方差公式展开 $(2+i)(2-i)$。

   • 方式二（性质法）：利用公式 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$ 快速求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

方法一（代数运算法）：

因为 $z=2+i$，所以 $\bar{z}=2-i$。

则 $z\cdot \bar{z}=(2+i)(2-i)$

利用平方差公式：

$z\cdot \bar{z}=2^2-i^2$

因为 $i^2=-1$，代入得：

$z\cdot \bar{z}=4-(-1)=5$

方法二（性质法）：

根据复数性质，$z=a+bi$ 与共轭复数相乘的结果恒等于实部的平方与虚部系数平方之和。

即 $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$。

代入 $a=2,b=1$：

$z\cdot \bar{z}=2^2+1^2=4+1=5$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 概念准确性： 必须牢记共轭复数是“虚部变号”，实部不变。

2. 运算简便性： $z\cdot \bar{z}$ 是复数运算中的高频组合，熟练使用 $a^2+b^2$ 可以避免展开括号时产生的正负号失误。

3. 陷阱警示： 选项 B（$\sqrt{5}$）是该复数的模 $|z|$，有些考生可能审题不严，将 $z\cdot \bar{z}$ 误认为求模，从而漏掉了平方步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

在复平面中，复数与其共轭复数具有以下深刻联系：

1. 对称性： 复数 $z$ 与 $\bar{z}$ 对应的点关于 实轴（x 轴） 对称。

2. 向量长度： $z\cdot \bar{z}$ 的几何意义是复数 $z$ 在复平面上对应点到原点距离的 平方。

3. 常用结论：

   • $z+\bar{z}=2a$（结果为实数）

   • $z-\bar{z}=2bi$（结果为纯虚数或零）

   • $\overline{z_1\cdot z_2}={\bar{z}}_1\cdot {\bar{z}}_2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数
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