2019-北京卷理-09 填-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及余弦函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）函数 $f(x)={\sin }^{2}2x$ 的最小正周期是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别函数类型：

   函数含有平方项 ${\sin }^2(\dots )$，这类函数求周期通常有两种思路：

   • 思路一（降幂法）：利用余弦二倍角公式的变形 ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$ 降为一次，直接套用公式。

   • 思路二（绝对值/图像法）：考虑 $\sin 2x$ 的图像，平方后周期会减半。

2. 公式应用：

   对于函数 $y=A\cos (\omega x+\phi )+k$ 或 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$，其最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\pi }{2}$

【解析过程】

1. 降幂变形：

   利用三角恒等变换中的降幂公式：${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$。

   令 $\theta =2x$，则有：

   $f(x)={\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos (2\cdot 2x)}{2}=\frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 4x$

2. 计算周期：

   此时函数转化为 $y=a\cos \omega x+b$ 的形式，其中 $\omega =4$。

   根据最小正周期公式：

   $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

   故答案为：$\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 降幂公式的熟练度：

   • ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$

   • ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

     这是三角函数中“化二次为一次”的标准操作，必须形成熟练掌握。

2. 周期减半规律：

   对于 $y=\sin \omega x$ 或 $y=\cos \omega x$：

   • 若加绝对值或平方，即 $y=|\sin \omega x|$ 或 $y={\sin }^2\omega x$，其周期会变为原来的一半，即 $T^{\prime }=\frac{\pi }{\omega }$。

   • 本题中 $y=\sin 2x$ 的周期为 $\pi$，平方后周期为 $\frac{\pi }{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 基本型： $y=\sin (\omega x+\phi )$ 或 $y=\cos (\omega x+\phi )$， $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。

2. 正切型： $y=\tan (\omega x+\phi )$， $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

3. 组合型： 若函数由多个三角函数复合而成，建议先利用恒等变换化为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的形式再求周期。

4. 图像识别： 在填空题中，画出 ${\sin }^{2}x$ 的图像有助于直观理解为什么函数值始终大于等于 0 且波动频率翻倍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期
• 2010-浙江卷理-11
• 2013-辽宁卷文-17 解-向量模与数量积