2019-北京卷理-11 填-三视图

本题导读

本题考查三视图还原直观图，以及几何体的体积计算。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示。如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定母体（正方体）尺寸：

   观察三视图的外轮廓，网格显示是一个 $4\times 4$ 的正方形，说明原正方体的棱长 $a=4$。

2. 分析去掉的部分（四棱柱）：

   • 侧视图显示去掉的部分是一个直角梯形，上底为 2，下底为 4，高为 2。

   • 俯视图和正视图显示这个形状在整个长度（4）上是保持不变的。

   • 结论：去掉的是一个底面为梯形、高为 4 的直棱柱。

3. 计算策略：

   利用“总体减局部”：$V_{剩余}=V_{正方体}-V_{四棱柱}$。

✅【答案】

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40．

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 40

【解析过程】

1. 计算原正方体的体积 $V_1$：

   $V_1=4\times 4\times 4=64$

2. 计算去掉的四棱柱体积 $V_2$：

   • 该四棱柱的底面是侧视图中呈现的梯形，其上底 $a^{\prime }=2$，下底 $b^{\prime }=4$，高 $h^{\prime }=2$。

   • 底面积 $S_{底}=\frac{1}{2}\times (2+4)\times 2=6$。

   • 柱体的高（对应正视图的宽度）为 $L=4$。

   • $V_2=S_{底}\times L=6\times 4=24$

3. 计算最终体积 $V$：

   $V=V_1-V_2=64-24=40$

故答案为：40．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 视图识别技巧： 在处理“挖去型”几何体时，先看哪个视图最能反映“切口”的形状。本题中侧视图清楚地勾勒出了梯形的截面。

2. 割补法的优越性： 虽然也可以将剩余部分分割为两个三棱柱和一个长方体分别计算再相加，但用“大减小”的方法计算量更小，逻辑更清晰。

3. 网格计数： 填空题中最常见的低级错误是数错网格。建议在数格子的同时，在图上标注长度数字。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. “长对正，高平齐，宽相等”： 这是判定三视图比例是否匹配的基本准则。

2. 虚实结合： 三视图中的实线代表可见轮廓，虚线代表被遮挡的轮廓。本题中若切口在正方体内部，视图中会出现虚线。

3. 体积变化模型：

   • 挖去一个角（三棱锥）：$V=V_{总}-\frac{1}{6}abc$。

   • 切去一个面（棱柱）：$V=V_{总}-S_{截面}\times L$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-05 单-三视图俯视图
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积