2019-天津卷文-17 解-线面平行

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定。核心在于几何法（线面平行定理、线面垂直定理）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $△ P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C D$ ， $P A ⊥ C D$ ， $C D = 2$ ， $A D = 3$ 。

(1)设 $G, H$ 分别为 $P B, A C$ 的中点，求证： $G H ∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)求证： $P A ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(3)求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值。

🔍【思路分析】

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第一问利用三角形中位线性质寻找平行关系，通过线面平行的判定定理证明 $G H ∥$ 平面 $P A D$ 。

第二问利用面面垂直的性质定理（面面垂直交线垂直于其中一个平面的某条线）推导 $P A ⊥$ 平面 $P C D$ 。

第三问利用等体积法或直接找出 $A D$ 到平面 $P A C$ 的垂线段，求出直线与平面所成角的正弦值。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)证明见解析。

(3)正弦值为 $\frac{3}{3}$ 。

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：取 $P C$ 的中点 $M$ ，连结 $GM, H M$ 。因为 $G$ 是 $P B$ 的中点， $M$ 是 $P C$ 的中点，所以在 $△ P B C$ 中， $GM ∥ B C$ 且 $GM = \frac{1}{2} B C$ 。因为四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $H$ 是 $A C$ 的中点，在 $△ A B C$ 中， $H M ∥ A B$ 且 $H M = \frac{1}{2} A B$ 。又因为 $A B C D$ 是平行四边形，故 $A D ∥ B C$ 且 $A D = B C$ 。从而 $GM ∥ A D$ 且 $GM = A D$ ，所以四边形 $A D M G$ 是平行四边形，故 $G H ∥ D M$ 。又因为 $D M \subset$ 平面 $P A D$ ， $G H \neq \subset$ 平面 $P A D$ ，所以 $G H ∥$ 平面 $P A D$ 。

(2)证明：因为 $△ P C D$ 为等边三角形， $M$ 为 $P C$ 的中点，所以 $D M ⊥ P C$ 。又因为平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C D$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $P C D = P C$ ，且 $D M \subset$ 平面 $P C D$ ，所以 $D M ⊥$ 平面 $P A C$ 。因为 $P A \subset$ 平面 $P A C$ ，所以 $D M ⊥ P A$ 。又已知 $P A ⊥ C D$ ，且 $P C \cap C D = C$ ， $P C, C D \subset$ 平面 $P C D$ ，所以 $P A ⊥$ 平面 $P C D$ 。

(3)解：因为 $P A ⊥$ 平面 $P C D$ ，所以 $P A ⊥ D M$ 。由(2)知 $D M ⊥$ 平面 $P A C$ ，所以点 $D$ 到平面 $P A C$ 的距离即为线段 $D M$ 的长度。因为 $△ P C D$ 是边长为 $C D = 2$ 的等边三角形， $M$ 是 $P C$ 中点，所以 $D M = \frac{3}{2} C D = \frac{3}{2} \times 2 = 3$ 。在 $△ A C D$ 中，已知 $C D = 2$ ， $A D = 3$ 。由(2)知 $P A ⊥ C D$ ，且 $△ P C D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，故 $P D = 2$ 。在 Rt $△ P A D$ 中， $P A^{2} + A D^{2} = P D^{2}$ ？不对，应由 $P A ⊥$ 平面 $P C D ⟹ P A ⊥ P D$ 。在 Rt $△ P A D$ 中， $P A = P D^{2} - A D^{2}$ ？此时 $A D = 3 > P D = 2$ 矛盾？重新核对条件： $C D = 2, A D = 3$ ， $△ P C D$ 等边三角形 $⟹ P D = 2$ 。由 $P A ⊥$ 平面 $P C D$ ，则 $P A ⊥ P D$ 。在 Rt $△ P A D$ 中，斜边应该是 $A D$ 吗？因为 $P A ⊥ P D$ ，所以在 Rt $△ P A D$ 中， $A D$ 为斜边， $∠ A P D = 9 0^{\circ}$ 。则 $P A = A D^{2} - P D^{2} = 3^{2} - 2^{2} = 5$ 。设直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角为 $θ$ ，则 $sin θ = \frac{点 D 到平面 P A C 的距离}{A D} = \frac{D M}{A D} = \frac{3}{3}$ 。故直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{3}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行、线面垂直判定定理及线面角的几何求法。

核心方法：转化法（将线面角转化为点到平面的距离与斜线段之比）。

避坑指南：熟练掌握面面垂直性质定理的应用，找准垂线是解决立体几何距离与角的核心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 高考立体几何解答题的压轴标准题型。

结论推广: 运用等体积法或直接寻找点到面的距离是求解线面角的高效方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

2013-浙江卷理-10 单-线面垂直

2013-浙江卷理-20 解-线面平行

2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定

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2019-天津卷文-17 解-线面平行

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