2019-天津卷理-08 单-分段函数

本题导读

本题考查分段函数，以及不等式恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）已知 $a\in \mathbb{R}$，设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2ax+2a,& x\le 1\\ x-a\ln x,& x>1\end{array}$。若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\ge 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围为()

A. $[0,1]$　　　　B. $[0,2]$　　　　C. $[0,e]$　　　　D. $[1,e]$

🔍【思路分析】

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1. 拆分问题：$f(x)\ge 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立，等价于两段不等式各自在其定义区间内恒成立：

• ① 当 $x\le 1$ 时，$x^2-2ax+2a\ge 0$ 恒成立。
• ② 当 $x>1$ 时，$x-a\ln x\ge 0$ 恒成立。

2. 处理第一段（二次函数）：利用二次函数 $y=x^2-2ax+2a$ 的对称轴 $x=a$ 与区间 $(-\infty ,1]$ 的位置关系，分类讨论求出 $a$ 的限制条件（或者直接代入特值 $x=0$ 缩小范围）。
3. 处理第二段（分离参数）：当 $x>1$ 时，$\ln x>0$，可将不等式等价变形为 $a\le \frac{x}{\ln x}$。构造新函数 $g(x)=\frac{x}{\ln x}$，利用导数求其在 $(1,+\infty )$ 上的最小值即可。
4. 综合求交集：将两段求得的 $a$ 的范围取交集。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 要使 $f(x)\ge 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立，必须满足：

步骤 1：处理 $x\le 1$ 段 令 $h(x)=x^2-2ax+2a\ge 0$ 在 $(-\infty ,1]$ 上恒成立。 由于 $h(0)=2a\ge 0$，可初步得到 $a\ge 0$。 函数 $h(x)$ 的对称轴为 $x=a$。对 $a$ 进行分类讨论：

• 若 $a\le 1$：此时对称轴在区间 $(-\infty ,1]$ 内，函数在 $x=a$ 处取得最小值。 $h_{min}=h(a)=a^2-2a^2+2a=-a^2+2a$。 要使恒成立，需 $-a^2+2a\ge 0⟹a(2-a)\ge 0⟹0\le a\le 2$。 结合前提 $a\le 1$，得到 $0\le a\le 1$。
• 若 $a>1$：此时对称轴在区间 $(-\infty ,1]$ 右侧，函数在 $(-\infty ,1]$ 上单调递减。 因此在该区间上的最小值为 $h(1)$（实际上是趋近于1的极小边界值）。 $h(1)=1-2a+2a=1>0$，显然恒成立。 综合以上情况，当 $x\le 1$ 时，$h(x)\ge 0$ 恒成立的充要条件是 $a\ge 0$。

步骤 2：处理 $x>1$ 段 令 $x-a\ln x\ge 0$ 在 $(1,+\infty )$ 上恒成立。 因为 $x>1$，所以 $\ln x>0$。不等式可化为分离参数的形式： $a\le \frac{x}{\ln x}$ 设 $g(x)=\frac{x}{\ln x}(x>1)$，则问题转化为求 $g(x)$ 的最小值。 对 $g(x)$ 求导： $g^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \ln x-x\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x{)}^2}=\frac{\ln x-1}{(\ln x{)}^2}$ 令 $g^{\prime }(x)=0$，得 $\ln x=1⟹x=e$。

• 当 $x\in (1,e)$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (e,+\infty )$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 所以 $g(x)$ 在 $x=e$ 处取得极小值，也是最小值： $g(x{)}_{min}=g(e)=\frac{e}{\ln e}=e$ 因此，要使 $a\le g(x)$ 恒成立，必须 $a\le e$。

步骤 3：综合求交集 结合两段的条件： $\{\begin{array}{l}a\ge 0\\ a\le e\end{array}⟹0\le a\le e$。

故选C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分离参数法的适用条件：当不等式中参数是一次项，且能与变量完全分离（如 $a\le g(x)$ 或 $a\ge g(x)$），优先使用分离参数法。这比直接对含参函数求导讨论（即“分类讨论法”）要简洁得多。
2. 二次函数闭区间最值模型：“定轴动区间”或“动轴定区间”是高中数学的经典模型，核心是讨论对称轴与区间端点的位置关系。
3. 经典函数模型：$y=\frac{x}{\ln x}$ 和 $y=\frac{\ln x}{x}$ 是高考中最常考的两个函数。一定要熟记它们的导数零点都是 $x=e$。

• $\frac{\ln x}{x}$ 在 $x=e$ 处取得最大值 $\frac{1}{e}$。
• $\frac{x}{\ln x}$ 在 $x=e$ 处取得最小值 $e$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记录下这种快捷技巧： 面对复杂的全定义域恒成立问题，可以先代入几个极其容易计算的“特殊值”来缩小参数范围。例如本题中，只需看 $x\le 1$ 这一段，代入 $x=0$，得到 $f(0)=2a\ge 0⟹a\ge 0$。直接排除了可能存在负数的选项，为后续严格证明确立了方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I理-21 解-分类讨论与分离参数法
• 2006-福建卷理-21 解-函数零点与图象交点问题
• 2007-广东卷理-20 解-函数值域最值