2019-天津卷理-17 解-空间直角坐标系

本题导读

本题考查空间直角坐标系的建立。核心在于空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）如图，$AE\perp$ 平面 $ABCD$，$CF\parallel AE$，$AD\parallel BC$，$AD\perp AB$，$AB=AD=1$，$AE=BC=2$。

(1)求证：$BF\parallel$ 平面 $ADE$；

(2)求直线 $CE$与平面 $BDE$ 所成角的正弦值；

(3)若二面角 $E-BD-F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$，求线段 $CF$ 的长。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：

• 题目给出 $AE\perp$ 平面 $ABCD$，$AD\perp AB$，且 $AD,AB,AE$ 两两垂直。
• 以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

2. 写出点与向量坐标：

• 根据长度条件确定 $A,B,C,D,E$ 坐标。
• 设 $CF=h(h>0)$，利用 $CF\parallel AE$ 确定 $F$ 的坐标。

3. 分步求解：

• 第一问：求平面 $ADE$ 的一个法向量 ${\vec{n}}_1$，证明 $\overrightarrow{BF}\cdot {\vec{n}}_1=0$ 且 $B\notin$ 平面 $ADE$。
• 第二问：求平面 $BDE$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$，求 $\cos ⟨\overrightarrow{CE},{\vec{n}}_2⟩$，其绝对值即为线面角的正弦值。
• 第三问：分别求出平面 $EBD$ 和平面 $FBD$ 的法向量，利用向量夹角公式与二面角余弦值 $\frac{1}{3}$ 建立关于 $h$ 的方程。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)正弦值为 $\frac{4}{9}$。

(3)$CF=\frac{8}{7}$。

✍【详细解析】

Abstract

解： 依题意，可以建立以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$ 的方向为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴正方向的空间直角坐标系。

由已知条件得各点坐标为： $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2)$。 设 $CF=h(h>0)$，则 $F(1,2,h)$。

(1)证明： 依题意，$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$。 因为 $AB\perp AD$ 且 $AB\perp AE$，所以 $\overrightarrow{AB}$ 是平面 $ADE$ 的一个法向量。 又 $\overrightarrow{BF}=(1-1,2-0,h-0)=(0,2,h)$。 计算数量积：$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{AB}=0\times 1+2\times 0+h\times 0=0$。 因为 $BF\not\subset$ 平面 $ADE$，所以 $BF\parallel$ 平面 $ADE$。

(2)解： $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BE}=(-1,0,2)$，$\overrightarrow{CE}=(-1,-2,2)$。 设 $\vec{n}=(x,y,z)$ 为平面 $BDE$ 的法向量，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{BD}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ -x+2z=0\end{array}$ 令 $z=1$，得 $x=2,y=2$，即 $\vec{n}=(2,2,1)$。 设直线 $CE$ 与平面 $BDE$ 所成角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{CE},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{CE}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{CE}||\vec{n}|}=\frac{|-2-4+2|}{\sqrt{1+4+4}\cdot \sqrt{4+4+1}}=\frac{|-4|}{3\times 3}=\frac{4}{9}$ 所以，直线 $CE$ 与平面 $BDE$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{9}$。

(3)解： 由(2)知平面 $EBD$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(2,2,1)$。 设 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$ 为平面 $FBD$ 的法向量，$\overrightarrow{BF}=(0,2,h)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$。 $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{BF}=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{BD}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2y_1+h{z}_1=0\\ -x_1+y_1=0\end{array}$ 令 $y_1=1$，得 $x_1=1,z_1=-\frac{2}{h}$，即 $\vec{m}=(1,1,-\frac{2}{h})$。 因为二面角 $E-BD-F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$，所以： $|\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩|=\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{|2+2-\frac{2}{h}|}{\sqrt{1+1+\frac{4}{h^2}}\cdot 3}=\frac{1}{3}$ $\frac{|4-\frac{2}{h}|}{\sqrt{2+\frac{4}{h^2}}}=1⟹(4-\frac{2}{h}{)}^2=2+\frac{4}{h^2}$ $16-\frac{16}{h}+\frac{4}{h^2}=2+\frac{4}{h^2}⟹14=\frac{16}{h}⟹h=\frac{8}{7}$ 所以，线段 $CF$ 的长为 $\frac{8}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 法向量的选取：在建系题中，平面的法向量不唯一，选取最简整数坐标（如令某分量为 1）可以大幅减少后续计算的复杂程度。
2. 线面角与二面角的区别：

• 线面角正弦值 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{l},\vec{n}⟩|$。
• 二面角余弦值 $\cos \alpha =|\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩|$（注意观察图像判断是钝角还是锐角，若题目给出具体的余弦值且为正，通常直接带入绝对值公式即可）。

3. CF 长度的物理意义：在 $h$ 的计算中，要始终保证 $h>0$，若解出负值应舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 第一步：找系。寻找或构造两两垂直的直线作为坐标轴。
• 第二步：求向量。准确记录关键点的坐标，列出构成平面的两个相交向量。
• 第三步：算公式。熟练套用线面角、二面角、点面距离公式，关键在于法向量的求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2002-新课标理-18甲 解-正三棱柱的几何性质