2019-江苏卷-14 填-函数性质

本题导读

本题考查函数的周期性与奇偶性，以及圆的方程与直线位置关系。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）设 $f(x),g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个周期函数，$f(x)$ 的周期为 4，$g(x)$ 的周期为 2，且 $f(x)$ 是奇函数。当 $x\in (0,2]$ 时，$f(x)=\sqrt{1-(x-1{)}^2}$，$g(x)=\{\begin{array}{ll}k(x+2),& 0<x\le 1\\ -\frac{1}{2},& 1<x\le 2\end{array}$，其中 $k>0$。若在区间 $(0,9]$ 上，关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有 8 个不同的实数根，则 $k$ 的取值范围是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制 $f(x)$ 图像：

• 在 $(0,2]$ 上，$y=\sqrt{1-(x-1{)}^2}$ 表示圆心为 $(1,0)$、半径为 1 的上半圆。
• 利用奇函数性质，在 $(-2,0)$ 上是关于原点对称的下半圆。
• 利用周期 $T=4$，将图像向右平移。在 $(0,9]$ 内，$f(x)$ 包含两个完整的上半圆（$(0,2]$ 和 $(4,6]$）以及一个半个的上半圆（$(8,9]$）。同时由于奇函数性质，$f(x)$ 在 $(2,4]$ 和 $(6,8]$ 是下半圆。

2. 绘制 $g(x)$ 图像：

• $g(x)$ 周期为 2。在每个周期内，一部分是恒过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线段，另一部分是水平线 $y=-1/2$。

3. 分析交点分布：

• 在 $x\in (1,2]$，$g(x)=-1/2$。此时 $f(x)$ 是上半圆，交点情况固定。
• 在 $x\in (0,1]$，$g(x)=k(x+2)$。这是一条绕着点 $(-2,0)$ 旋转的直线。我们需要控制斜率 $k$，使得在 $(0,9]$ 内总交点数为 8。

4. 寻找临界状态：分析直线与半圆“相切”以及“经过端点”的特殊 $k$ 值。

✅【答案】

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$\left[\frac{1}{3},\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\left[\frac{1}{3},\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

【解析过程】 1. $f(x)$ 的图像分析：

• $x\in (0,2]$ 时，$f(x)$ 是圆心为 $(1,0)$ 的上半圆。
• 由于 $T=4$ 且为奇函数，在 $(2,4]$ 上，$f(x)$ 是圆心为 $(3,0)$ 的下半圆。
• 在 $(0,9]$ 范围内，$f(x)\ge 0$ 的区间为 $(0,2],(4,6],(8,10]$。


2. $g(x)$ 的图像与 $y=-1/2$ 的交点：

• 当 $x\in (1,2],(3,4],(5,6],(7,8]$ 时，$g(x)=-1/2$。
• 在这些区间内，$f(x)$ 在 $(3,4]$ 和 $(7,8]$ 是下半圆（方程为 $y=-\sqrt{1-(x-3{)}^2}$ 等）。
• 令 $-\sqrt{1-(x-3{)}^2}=-1/2$，解得 2 个根；同理在 $(7,8]$ 有 2 个根。
• 此时已有 $2+2=4$ 个实根。

3. $g(x)=k(x+2)$ 的交点分析：

• 剩余 4 个根必须由 $g(x)=k(x+2)$ 在区间 $(0,1],(2,3],(4,5],(6,7],(8,9]$ 与 $f(x)$ 产生。

• 注意：当 $x\in (2,3],(6,7]$ 时，$f(x)\le 0$ 而 $g(x)>0$（因为 $k>0$），无交点。

• 因此，剩下的 4 个根必须在 $(0,1],(4,5],(8,9]$ 这三个上半圆区域产生。

• 根据周期性，$g(x)$ 在这些段上的方程分别为：

• $x\in (0,1]:y=k(x+2)$

• $x\in (2,3]:y=k(x)$（向右平移一个周期 $T=2$）

• $x\in (4,5]:y=k(x-2)$

• $x\in (8,9]:y=k(x-6)$

4. 临界 $k$ 值计算：

• 状态一：相切。考虑 $y=k(x-2)$ 与圆 $(x-5{)}^2+y^2=1$ 相切。 圆心 $(5,0)$ 到直线 $kx-y-2k=0$ 的距离 $d=\frac{|5k-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$。 解得 $9k^2=k^2+1⟹k=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 此时在 $(4,5]$ 段恰有 1 个交点，总数不满足（或处于减少趋势），需 $k<\frac{\sqrt{2}}{4}$。
• 状态二：过端点。考虑 $y=k(x-2)$ 经过 $(5,1)$。 $1=k(5-2)⟹k=\frac{1}{3}$。 此时在 $(0,1],(4,5]$ 各有 2 个交点，在 $(8,9]$ 无交点（因为直线 $y=k(x-6)$ 过 $(9,1)$ 以后才会有交点），总计 $2+2=4$ 个，加上之前的 4 个共 8 个。

综上所述：$k\in \left[\frac{1}{3},\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 周期函数的平移技巧：对于 $g(x)$ 这种周期为 2 的函数，处理 $x\in (4,5]$ 时的表达式，最稳妥的方法是利用 $g(x)=g(x-4)$，从而将解析式回归到原始定义区间。
2. 数形结合的严谨性：这类题必须动手画图。特别是要分清哪些区间 $f(x)$ 在轴上方，哪些在轴下方。
3. 隐含的交点：不要忽略 $y=-1/2$ 那一部分产生的固定交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结此类压轴题的解题模版：

• Step 1：拆分方程。将 $f(x)=g(x)$ 拆成两个函数图像。
• Step 2：找“定性”。确定函数的周期、对称性、最大值、最小值。
• Step 3：找“定量”。确定直线过哪个定点，曲线的圆心和半径。
• Step 4：抓“临界”。通常是相切（距离等于半径）、过边界点（代入坐标）、平行（斜率相等）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-10 填-分段函数周期性
• 2014-四川卷文-13 填-周期函数求值
• 2014-四川卷理-12 填-函数的周期性